Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

78 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
in allgemeinster Weise die Extremalenschar durch den Punkt P,
dar, die Funktion (p(x, a) hat dieselben Stetigkeitseigenschaften wie
( (x, a) und es ist
A(x, xO) == Cpa(X, ao). (34a)
Wenden wir die vorangehenden Resultate insbesondere auf den
Fall an, wo der Punkt PO mit dem Endpunkt P1 des Bogens eo zusammenfällt, so erhalten wir den Satz:
Ist
y = (x, a) (32 a)
die Schar von Extremalen durch den Punkt P1, so kann der zu x,
konjugierte Wert x,' auch definiert werden als die zunnächst auf x1
folgende Wurzel der Gleichung
a(x, ao)= O.
Neben den beiden Gleichungen
Qa(Xi, ao) = 0, p 0a(X', ao)= 35)
folgen aus den bekannten Eigenschaften von A(x, x,) noch die Ungleichungen )
9Pax,(X ) )+ 0, Px(x' ao) + 0. (36)
b) Die Enveloppe der Extremalenschar durch den Punkt Pc:
Aus dem letzten Satz ergibt sich unmittelbar die im Eingang'
dieses Paragraphen erwähnte geometrische Interpretation der kon —
jugierten Punkte. Denn die Koordinaten xl', y' des zu P1 konjugierten Punktes Pl' genügen den beiden Gleichungen
~(x', y1', a,) - (x', a),) - y'= 0
a (X]i, yi', ao) - 9 (X1, ao) = 0,
und außerdem ist die Determinante
ax Oay
für x = x', y = y1', a = a. von Null verschieden, da ihr Wert gleich
pa(xl', ao) ist. Hieraus erhalten wir nach der Theorie der Enve1) Vgl. ~ 11, a), Zusatz 1.