Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

76 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
a) Zusammenhang der Funktion (x,x,) mit der Extremalenschar durch den Punkt Po:
Wir wählen (etwas allgemeiner als es für unsern unmittelbaren
Zweck nötig ist) irgend einen Punkt PO(xo, Yo) auf dem Extremalenbogen eo oder auf dessen Fortsetzung auf das erweiterte Intervall [X1X2] und betrachten die Schar von Extremalen durch den
Punkt PO. Man erhält dieselbe analytisch, indem man zwischen den
beiden Gleichungen
y=-g(xo, a,) (
eine der beiden Konstanten ~, ß eliminiert. Die Gleichung (301) wird
durch die Werte a = cc, =- P befriedigt; ihre rechte Seite ist in
der Umgebung der Stelle a =-, ß = ßpo von der Klasse C', und
überdies ist mindestens eine der beiden partiellen Ableitungen
g(xO, ao, Oo) = r1(x) und g, (x0, o, ßo) = r2(x0)
von Null verschieden, da r1'(x) und r2(x) zwei linear unabhängige
Integrale der Jacobi'schen Differentialgleichung sind, und die Stelle xo
demi Stetigkeitsbereich der letzteren angehört. Sei, um die Ideen zu
fixieren,
g,(xo,, ao ) + o.
Dann gibt es nach dem Dini'schen Satz1) über implizite Funktionen
eine und nur eine Funktion,
welche in der Umgebung von a = ao von der Klasse C' ist, der
Gleichung (30,) genügt und für o = a den Wert /ß annimmt.
Setzen wir dieselbe in (30,) ein, und bezeichnen
g(x, a, ß (üc)), (x, ), (31)
so stellt die Gleichung
y = p (x, a), (32)
die durch den Punkt Po gehende Extremalenschar dar, wobei dann
die Extremale o0 selbst durch
o__ y = Q(x, o,) (33)
1) Vgl. ~ 22, e).