Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 12. Das Jacobi'sche Kriterium. 71
Wenn
R > 0 für x < x < x
und
(x,x1) + 0 für x,<x <x2 (21)
so ist d2J positiv für alle zulässigen Funktionen ri.
Die Bedingung (21)
können wir auch durch
die Ungleichung,' b/_
xi > x2 (21 a) \ i v
Fig. 9.
ersetzen, wenn wir die
auf p. 70, Fußnote 1)
erwähnte Verabredung über die Bedeutung von x. treffen.
Aus dem vorangehenden Satz schloß JACOBI, daß in diesem Fall
wirklich ein Minimum eintritt, und dies wurde allgemein angenommen,
bis WEIERSTRASS im Jahre 1879 zeigte, daß der Schluß falsch ist,
wenigstens wenn man den Begriff des Minimums in der allgemeinen
Weise faßt, wie wir denselben in ~ 3, b) definiert haben (vgl. ~ 15, a)).
Die beiden obigen Sätze pflegt man unter dem Namen ~Jacobi'sches
Kriterium" zusammenzufassen.
Der Wert x1 wird der zu x1 konjugierte Wert genannt, und der
Punkt PL der Extremale') (o, dessen Abszisse x[ ist, der zu Punkt P~
konjugierte Punkt (nach WEIERSTRASS).
Beispiel VI (Siehe p. 32): f= G(y').
Hier ist
P=O, Q =O, R=G" (O),
also wird die Jacobi'sche Differentialgleichung
d2x
und daraus
A (X, x,) = x - X,
Es ist also stets daJ> 0, was freilich hier unmittelbar aus der speziellen Form
von 2 J klar ist.
daß a' als Funktion von a im Intervall [X1 XE] stetig ist und mit d beständig zunimmt, so lange e'<X2; so bald aber S' diesen Wert erreicht hat, bleibt es
von da ab konstant gleich X2.
Hieraus folgt noch weiter, daß die Funktion ~' - a von a im Intervall [x, x,]
einen positiven Minimalwert 1 erreicht. Ist daher [a ~] irgend ein Teilintervall
von [x, x2] dessen Länge <1, so kann das Intervall [acJ] kein Paar konjugierter
Punkte enthalten.
1) oder ihrer Fortsetzung auf das erweiterte Intervall [X, XJ], siehe ~ 9, b).