Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 12. Das Jacobi'sche Kriterium. 69
ein, welches für x = x1 verschwindet.l) Wir bezeichnen dasselbe, indem wir den konstanten Faktor in bestimmter, später näher zu präzisierender Weise gewählt denken, mit (x, x,). Da nach der am
Ende von ~ 9, b) gemachten Bemerkung das Stetigkeitsintervall der
Jacobi'schen Differentialgleichung sich mindestens auf das Intervall
[X X2] erstreckt, so lassen sich die Sätze des vorigen Paragraphen
auf die Jacobi sche Differentialgleichung und das Intervall [XX12]
anwenden. Die Funktion A(x, xJ) verschwindet also nach ~ 11, a)
nur in einer endlichen Anzahl von Punkten im Intervall [X1X2]; wir
bezeichnen mit x1 die zunächst auf x, folgende Nullstelle von A (x, xJ),
falls eine solche überhaupt im Intervall [X X2] existiert, so daß also
a(X, x1) 0, a(x1, x1)= o
A(x, x) +0 für x < x < x.
Alsdann tritt einer der beiden folgenden Fälle ein:
Fall I: x} i x2. Dann folgt nach dem Satz von STURM (~ 11, c)),
daß jedes von A (x, x,) unabhängige Integral von (9) in einem Punkt
zwischen x, und x' verschwindet. Somit existiert in diesem Fall
kein Integral der Jacobi'schen Differentialgleichung, welches im
ganzen Intervall [x1x2] von Null verschieden ist, dagegen sicher
mindestens ein Integral, - nämlich: u = A(x, x) - welches in
zwei Punkten des Intervalls verschwindet. Es tritt also die zweite
der in ~ 10 betrachteten Möglichkeiten ein. Wir können also nach
den in ~ 10, b) erhaltenen Resultaten den Satz aussprechen:
Wenn A(x, x,) außer in x, noch in einem zweiten Punkt des
Intervalls [x1 x21 verschwindet, so Tkann man 62J=- 0 machen durch
passende Wahl2) der Funktion r.
Nach JACOBI schließt man hieraus, wie wir bereits in ~ 10, b)
gesehen haben unter Zuziehung von 63J, daß in diesem Fall ein
Extremum nicht eintreten kann. Der Schluß ist zwar nicht einwandfrei2), trotzdem ist Jacobi's Resultat, abgesehen von gewissen Ausnahmefällen, richtig3) wie wir später sehen werden (~ 14).
1) Vgl. HESSE, loc. cit. p. 258, und für das allgemeinste Problem für einfache
Integrale A. MAYER, Journal für Mathematik, Bd. 69 (1868), p. 250.
2) Vgl. p. 62, Fußnote 1).
) ERDMANN beweist dies, indem er den Wert von 3'J für die spezielle
Funktion N, welche d2J zum Verschwinden bringt, d. h. also für die Funktion
A (x, x,) in [x xi]
o in [xx2],