Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

68 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
Konstante C; es sei, um die Ideen zu fixieren,
du2- duzl
" dx 2 rdx
Sind nun x1 und x, zwei dem Intervall [ab] angehörige, aufeinanderfolgende Nullstellen von u1 (so daß also u1 zwischen x1 und x'l
nicht verschwindet), so ist hiernach
u2 ) (x1) U (Xx1) < 0 2 () <.
Andererseits sind aber nach a) Zusatz 1, die beiden Werte ul (x,)
und u (x') von Null verschieden; also wechselt,tl(x) sein Zeichen
in x1 und xl; und da über' —j ob K^T xru y dies u1 zwischen x1 und x'
/a~; _ A__,__ Ö s-/Y sein Zeichen nicht wechselt,
\ 50 / so müssen ul(x^) und ul(x^)
entgegengesetztes Zeichen haFig. 8. ben; also müssen auch 2(x^)
und u2 (x'1) entgegengesetztes
Zeichen haben. Daraus folgt aber wegen der Stetigkeit von u2, daß
zwischen x1 und x. mindestens eine Nullstelle von u% liegen muß.
Angenommen es gäbe noch eine zweite, so würde nach dem eben
Bewiesenen folgen, daß zwischen diesen beiden Nullstellen von u2
mindestens eine Nullstelle von u1 liegen müßte, was gegen die Annahre ist, daß xl die zunächst auf x1 folgende Nullstelle von ue ist.
Hiermit ist der Satz in allen seinen Teilen bewiesen: Die Nullstellen
von u, und u2 müssen also miteinander alternieren.')
~ 12. Das Jacobi'sche Kriterium.
Wir sind nunmehr in der Lage, die am Ende von ~ 10, b) aufgeworfenen Fragen über das Vorzeichen der zweiten Variation mit
Hilfe des eben bewiesenen Sturm'schen Satzes zu beantworten.
a) Einführung der Funktion A (x, xj):
Zu diesem Zweck führen wir dasjenige, - bis auf einen konstanten
Faktor bestimmte -, Integral der J a cobi'schen Differentialgleichung (9)
1) Das einfachste Beispiel des Satzes ist die Differentialgleichung:
d,+
d u
mit den beiden partikulären Integralen: u- = sinr x, u. =- cos x.