Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 11. Hilfssätze über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 67
b) Der Satz von Abel'):
Sind u, u2 zwei linear unabhängige Lösungen 'von (17), so ist
x
= d-du d- l Ce pi"x (19)
wo C eine von Null verschiedene Konstante ist.
Denn nach Voraussetzung ist
daxl - p d ~ + qu~, —
du2 du2
dx +P dx +q =O
d2u, duz,
dx P s~q-p~+, =O.
Multipliziert man die erste dieser Gleichungen mit -u2, die
zweite mit u, und addiert, so kommt
dD
dx + pD -=O,
und daraus folgt durch Integration (19).
Wäre C = 0, so würde folgen
d (2) = 0, also u= konst. u,
gegen die Annahme, daß u, und u2 linear unabhängig sind.
Zusätze: 1. Die Hauptdeterminante D(x) eines Fundamentalsystems
ist in jedem Punkt des Stetigkeitsintervalls [ab] von Null verschieden.
2. Zwei linear unabhängige Lösungen ul, u2 können nicht in
demselben Punkt xo des Intervalls [ab] verschwinden.
c) Der Satz von Sturm2):
Sind uV, u2 zwei linear unabhängige Integrale der Differentialgleichung (17), so liegt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen
von u, stets eine und nur eine Nullstelle von u2, vorausgesetzt, daß diese
N ullstellen sämtlich dem Stetigkeitsintervall [ab] angehören.
Beweis: Aus (19) folgt, daß die Determinante im ganzen Intervall [ab] ein konstantes Vorzeichen besitzt, nämlich dasselbe wie die
1) (Euvres, Bd. I, p. 251.
2) STuRM, Memoire sur les equations differentielles du second ordre, Jo u rn a l
de Liouville, Bd. I (1836), p. 131; vgl. auch STURM, Cours d'Analyse, 12. Aufl.,
Bd. II, Nr. 609, und SERRET, 1. C. Nr. 775; ferner DARBOUX, Theorie des surfaces,
(Paris, 1894), Bd. III, Nr. 628, und BOCHER, Transactions of the American
Mathematical Society, Bd. 1I (1901), p. 150, 428.
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