Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

66 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
wo (h) mit h unendlich klein wird. Daraus folgt, daß sich eine Umgebung von c angeben läßt, in welcher c die einzige Nullstelle von u
ist. In beiden Fällen gelangen wir also zu einem Widerspruch mit
der Annahme, daß c eine Häufungsstelle der Nullstellen von u ist,
womit unsere Behauptung bewiesen ist.
3. Es existieren stets (unendlich viele) ~Fundamentalsysteme"1l)
für die Differentialgleichung (17), d. h. Systeme von zwei linear unabhängigen partikulären Integralen u1, u2, für welche also keine Relation der Form
C1u1 + C2t2 =- 0
besteht, wo C1, C, Konstanten bedeuten, welche nicht beide gleich
-Null sind.
4. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß u1 und u2
linear unabhängig sind, besteht darin, daß ihre,Hauptdeterminante"
D l ul u2 (18)
ul u2\
nicht identisch verschwindet.2)
5. Bilden ul, u2 ein Fundamentalsystem, so ist jedes Integral
von (17) durch u1 und u2 ausdriickbar in der Form3)
u = C1 ul + C2Gu2
wo C1, C2 Konstanten sind.
1) Z. B. die beiden durch die Anfangsbedingungen
v1(x0)== 1 V (o)= 0
v2 (Xo)-O o (X,) = 1
definierten Integrale vl, v2. Jedes andere Fundamentalsystem uz, u2 ist durch
dieses spezielle ausdrückbar in der Form
U1'= - 11 Vl + a12 2 V2
2 -= ~C21 V1 + -022 V2
wo aC, 12, a2, c22 Konstanten sind, für welche
O11 ~2 - ~ 2 ~21l 0.
2) Vgl. VESSIOT, Encyclopädie, II A, p. 261; JORDAN, Cours d'Analyse, III,
Nr. 122; SERRET, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung (Leipzig, 1904),
Bd. III, Nr. 768. Der Ausdruck ~Hauptdeterminante" bei SERRET, loc. cit.; sonst
wird auch der Ausdruck ~,Wronski'sche Determinante" dafür gebraucht.
3) Vgl. Encyclopädie, 1. c., JORDAN, Cours d'Analyse, III, Nr. 119;
SERRET, 1. c.