Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 11. Hilfssätze über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 65
Es sei die Differentialgleichung gegeben:
d2u Pdu + U ' (17)
wo p und q gegebene Funktionen von x sind, welche in einem Intervall [ab] stetig sind. Alsdann gelten die folgenden Sätze und Definitionen:
a) Existenztheorem:
Gehört der Punkt xo dem Stetigkeitsintervall [ab] an, und sind
u%, uo zwei willkürlich vorgeschriebene endliche Werte, so gibt es
ein und nur ein Integral von (17), welches den Anfangsbedingungen
u(Xo) =-==, ut '(0) =
geniigt'), und welches in der Umgebung von xo von der Klasse C" ist.
Dieses Integral und daher überhaupt jedes Integral der Differentialgleichung (17) ist von der Klasse C" im ganzen2) Intervall [ab].
Zusätze:
1. Da u -_ 0 eine Lösung von (17) ist, so führt die Anwendung
des Existenztheorems auf die speziellen Anfangswerte u -= 0, to = 0
zu dem Satz:
Ein partikuläres Integral u von (17) kann nicht gleichzeitig mit
seiner ersten Ableitung in einem Punkt x0 des Intervalls [ab] verschwinden, es sei denn, daß u 0 in [ab].
2. Ein partikuläres Integral u der Differentialgleichung (17) kann
im Intervall [ab] nur in einer endlichen Anzahl von Punkten verschwinden, es sei denn, daß u = 0 in [ab].
Beweis: Angenommen u hätte unendlich viele Nullstellen in [ab],
ohne identisch zu verschwinden; dann würde es nach A I 5 für dieselben mindestens eine Häufungsstelle c im Intervall [ab] geben. Es
ist nun entweder u(c) + 0; alsdann läßt sich nach A III 2 wegen
der Stetigkeit von u(x) eine Umgebung von c angeben, in welcher
u(x) 0; oder es ist u0(c) =0, dann folgt nach Zusatz 1, daß
u'(c) + O. Es ist aber nach der Definition der Ableitung
- ________ u(c + h) = h[u'(c) + (h7)],
1) Dies ist ein Spezialfall des allgemeinen Cauchy'schen Existenztheorems
für Differentialgleichungen, vgl. ~ 23.
2) Vgl. PICARD, Traite d'Analyse, III (Paris, 1896), p. 91, 92 und PAINLEVE,
Encyclopädie, II A, p. 194.
B o 1 z a, Variationsrechnung. 5