Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

64 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
Wenn daher u der Differentialgleichung
P(u) = 0
genügt, so erhalten wir
u W(v) = d R (uv'- u'v),
dx
und wenn wir darin
v =Z pu
setzen, wo p irgend eine Funktion der Klasse C" ist, und mit p multiplizieren,
so erhalten wir
d d
(pu) W(pu u) = - d (Rpu2p) =- (Rppu2) + R(pu). (15)
Nehmen wir jetzt überdies an, daß die Funktion u in [ v ~2] von Null verschieden ist, dann dürfen wir in (15) für p den Quotienten
substituieren, wo 4 wieder eine beliebige Funktion der Klasse 0" ist, welche in, und |, verschwindet. Integriert man jetzt (15) zwischen den Grenzen l und ~2,
substituiert für p den eben angegebenen Wert und beachtet, daß dann auch p
an beiden Grenzen verschwindet, so erhält man ) aus (12)
2 Tr 2 r u- rlu') dx
uJ.u.. (1a)
~ 11. Hilfssätze über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Wir stellen in diesem Paragraphen eine Reihe von Sätzen über
homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung zusammen
die wir bei der weiteren Diskussion der zweiten Variation gebrauchen
werden.
1) Dieser zweite Beweis der Formel (11) setzt voraus, daß ri von der Klasse C"
ist in [~, e]. Wenn man jedoch mit (15) die schon bei Ableitung von (12) benutzte Identität
d
Pv2 + 2 Qvv' + v' 2 = v Y(v)+ q-v(Qv+ Bv')
kombiniert, so erhält man:
P(p u) Q + 2 Q ( p u ) = () (p+'u) -d (p'(Qu + Ru')), (16)
aus welcher (11a) unmittelbar durch Integration folgt. Da aber in (12) die
zweite Ableitung von p gar nicht vorkommt, so ergibt sich hieraus, in Übereinstimmung mit dem früheren Resultat in ~ 10, a), daß es für die Richtigkeit
der Formel (11 a) nicht nötig ist, die Existenz von n" vorauszusetzen.