Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 10. Die Jacobi'sche Differentialgleichung. 61
Jacobi'schen Differentialgleichung (9) gibt, welches im ganzen Intervall
[xZx2] von Null verschieden ist.
Falls es ein solches partikuläres Integral u gibt, so läßt sich
ö2J auch schreiben
X2
6'2J — (2'Buu 2 dx ( 1)
wie man sofort sieht, wenn man in (6) mittels der Substitution (8)
die Funktion u statt w einführt.
b) Jacobi's Transformation der zweiten Variation:
Wenn es dagegen kein partikulares Integral der Jacobi'schen
Differentialgleichung gibt, welches im ganzen Intervall [x1 x2] von Null
verschieden ist, mit anderen Worten, wenn jedes Integral von (9)
mindestens in einem Punkt von [x1x2] verschwindet, so ist die Legendre'sche Transformation der zweiten Variation nicht anwendbar
und wir kommen also auf diesem Wege zu keiner Entscheidung über
das Vorzeichen der zweiten Variation.
Hier setzt nun eine zweite, von JACOBI herrührende Transformation der zweiten Variation ein, die uns auch für diesen Fall
Aufschluß über das Vorzeichen der zweiten Variation geben wird.
Es bezeichne [e s2] entweder das Intervall [xr x2] selbst oder ein
Teilintervall von [x, x2] und es sei ~ außerhalb [e es] identisch Null,
und in [Sl 2] gleich einer Funktion der Klasse C", welche in dt und
e2 verschwindet.
Bezeichnen wir dann mit 2, die in bezug auf V, <' quadratische
Form
2Q = P~2 + 2Q7' + R'2,
und wenden den Euler'schen Satz über homogene Funktionen an, so
können wir ö2J in der Form schreiben:
62 T 2 Cz ixaß 7
2J_ ( a+ X,)dx.
Dieses Integral können wir jetzt - ganz so wie den ähnlich
gebauten Ausdruck für dJ in ~ 4 - durch partielle Integration') des
zweiten Gliedes umformen. Wir erhalten so:
1) Die partielle Integration ist statthaft, da nach den gemachten Annahmen
im Intervall [ Q~] yvon der Klsse is.
im Intervall [C 1 &] von der Klasse C' ist.