Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Anhang. 9*
Wenn überdies die partielle Ableitung fa(x, ac) im Bereich (2) stetig ist,
so ist die Funktion F(a) differentiierbar in [aoao], und es ist
b
F'(a) =f. (x,, a) dx.
a
Dag (aegen istf
F'(a)==;ffa( db da
() (-f.(xtx + f(b a)d
a
wenn a und b Funktionen von a sind, welche in [o0 cl] von der Klasse C' sind.
Vgl. E. 102; G. 216; J. 72; 0. 84-89; Pi. 388, 392.
VI. Kurven.
1. Definitionen über Kurven: Vgl. ~ 25, a).
2. Satz von Jordan: Jede stetige geschlossene Kurve 2 ohne mehrfache
Punkte (~Jordan'sche Kurve") zerlegt die Ebene in zwei Kontinua, von denen
das eine (das Innere von 2 genannt), im Endlichen liegt, während das andere
(das Äußere von 2 genannt), sich ins Unendliche erstreckt. Die Kurve selbst
bildet die vollständige Begrenzung beider Bereiche.
Je zwei Punkte des Inneren (Äußeren) können stets durch eine stetige
Kurve verbunden werden, welche keinen Punkt mit der Kurve 2 gemein hat.
Dagegen hat jede stetige Kurve, welche einen Punkt des Innern mit einem
Punkt des Äußeren verbindet, notwendig mindestens einen Punkt mit der
Kurve 2 gemein.
Vgl. J. 91-99; 0. 140.
VII. Abbildung.
1. Die Funktionen
Y = — fl (X, *x2.", x,) Y = (xl, x2.., x )... 'y. --- fi,(xi, x...,, Xn), (3)
seien stetig in der Menge RTi und es sei n9 die der Menge 9I1 mittels der
Transformation (3) im Raum der Variabeln y, Y2..., yn entsprechende Menge
(das Bild von Si).
Wenn alsdann 9]T beschränkt und abgeschlossen ist, so ist auch RL beschränkt und abgeschlossen.
Wenn insbesondere m == n und die durch (3) vermittelte Beziehung zwischen
9 un lnd eine ein-eindeutige ist (d. h. wenn zwei verschiedenen Punkten von
9T allemal zwei verschiedene Punkte von 9l entsprechen), so definieren die
Gleichungen (3) x1, x,..., xn in 9 als eindeutige Funktionen von y1, Y2,..., y
(inverse Funktionen).