Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Anhang. 5*
in A (in bezug auf 9ST), wenn zu jedem positiven E ein positives d gehört, derart daß
i f(x, x., x ) - f(al, a,.., a% ); <
fiür jeden Punkt (x1, x2,..., x) von R9 in (d)A.
Vgl. J. 46; Pi. 208; Sch. 116; T. 223.
2. Vorzeichensatz: Ist die Funktion f(x1, x2,..., x.) stetig im Punkt
A (at, a2,..., ai), und ist f(a, a9,..., an)> 0, so läßt sich eine positive Größe
Q angeben, so daß f(x, x,..., x")> 0 in allen Punkten von (Q)A, welche zu
9TI gehören.
Vgl. Pe. 11, 121; Pi. 214; V. 88.
3. Die Funktion f(x,. x2,,..., x) heißt stetig in der Punktmenge 9TS, wenn
sie in jedem Punkt von 91T stetig ist.
Ist die Funktion f(x1, x2,..., x"), stetig in einer beschränkten, abgeschlossenen
Punktmenge 9L, so gelten die folgenden Sätze:
a) Die Funktion f besitzt in 9T eine endliche obere Grenze G und eine
endliche untere Grenze K.
b) Die Funktion f nimmt die Werte G und K in R9T wirklich an (Maximum
und MIinimzuml,).
c) Zu jedem positiven s gehört ein positives d, derart daß
f(xl* X, x * ) x (X X,2 x.., Xj') | < ~
für je zwei Punkte (x1', x,',..., x n') und (x,", x2",, x," n ) von JT], für welche
| x1 -x1" i <,...*, * x, - xZ', <.
(Gleich(mäßi.ige Stetigkeit.)
Vgl. D. 63, 68; E. 18, 19, 49; G. 162, 163; J. 48, 53; 0. 13, 15, 34;
Pe. 15, 122, 123; Pi. 214, 215, 216; Sch. 119; St. G. 17, 53, 97, 98; T. 237, 238;
V. 89, 90, 91.
4. Zusaimmengesetzte Funktionen: Vgl. unten IV 9, Zusatz.
5. Die inverse Funktion: Wenn die Funktion y- f(x) im Intervall:
a x < b stetig ist und mit wachsendem x beständig zunimmt, und zwar von
y= g bis y = h, so hat die Gleichung: y = f(x) für jeden Wert von y im Intervall [gh] eine und nur eine Wurzel x = p(y) im Intervall [ab], und die hierdurch für das Intervall [gh] eindeutig definierte inverse Funktion Cp(y) ist stetig
in [gh].
Vgl. Pe. 21; Pi. 133, 134; St. G. 48; T. 246; V. 45, 93.
IV. Die Ableitung.
1. Wenn der Quotient
f(xo + h) - f(xo) f(x - h) - f(x) (h
h, resp. - (-h >0)
1% ~~~~ —hfl