Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~~~~4* B Anhang.
kleiner bleibt als eine feste Größe G, so nähert sich f(x) für x - a + 0 einer
bestimmten endlichen Grenze (Monotonieprinzip).
Analog für x — a - 0, + o0, - o und für abnehmende Funktionen.
Vgl. D. 42; E. 13; 0. 26; Pe. 8; St. G. 15; V. 61.
4. Damit die Funktion f(x) für x-a- + 0 sich einer bestimmten, endlichen Grenze nähert, ist notwendig und hinreichend, daß zu jedem positiven s
ein positives 8 gehört derart, daß
f(x') - f(x") <
fir jedes Wertsystem x', x", für welches
a <x' <a +, a<x"<a.
(Allgemeines Konvergenzprinzip). Analoger Satz für x a - 0, a, + oi, - oc.
Vgl. D. 38; E. 14; 0. 27; Pe. 9; Pi. 179; St. G. 21; V. 66.
5. Ist Y(h) die (endliche oder unendliche) obere Grenze der Funktion f(x)
im Intervall [a, a - h], wo h> 0, so besitzt die Funktion Y(h) für h -+ 0
stets eine bestimmte (endliche oder unendliche) Grenze, welche der rechtsseitige
obere Limes (auch Utnbestimmtheitsgrenze) von f(x) für x - a genannt wird,
in Zeichen:
L f(x) = f(a + 0).
x=a+O
Analog f(a + 0), f(a - 0), und f(a - 0). Wenn f(a + 0) == f(a - 0), so existiert
f(a + 0), endlich oder unendlich.
Vgl. E. 14; Pi. 205: St. G. 17; T. 233; V. 84.
6. Gleichmiäßige Konvergenz: Die Funktion f(x, y) sei definiert für jedes
x, y, für welches x dem Bereich: a <x < D und gleichzeitig y einer gewissen
Punktmenge Y angehört. Alsdann sagt man, die Funktion f(x, y) nähere sich
bei dem Grenzübergang x a + 0 einer bestimmten endlichen Grenze q (y)
gleichmäßig in Beziehung auf die Menge Y, wenn zu jedem s > 0 eine von y
unabhängige positive Größe a gehört derart, daß
If(x, y) — p (y) <
für jedes a < x < al + a und für jedes y der Menge Y.
Analoge Definition für x — a - 0, a, - 00, -c.
Vgl. E. 52; Pi. 200; St. G. 78.
III. Stetigkeit.
1. Die Funktion f(x1, x,..., x.) sei definiert in einer Menge 9TL, und es
sei A(a, a2,..., az) ein Punkt von SL. Alsdann heißt f(x, x.,..., x)stetigl)
1) Nach dieser von C. JORDAN gegebenen Definition ist die Funktion f in
jedem isolierten Punkt von 9X stetig. Gewöhnlich beschränkt man den Stetigkeitsbegriff auf Häufungspunkte.