Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 9. Die Legendre'sche Bedingung. 57
Trotzdem läßt sich durch eine leichte Modifikation des Beweises
der erste Teil des Legendre'schen Schlusses völlig streng beweisen,
d. h. der
Fundamentalsatz II: Soll die Extremale
y = y(x)
ein Minimum l) für das Integral J liefern, so muß sein
R(x) - fy,,J (x, y(x), ' (x)) ( 0 in [xx].. (II)
Beweis2): Angenommen, es sei R(c) < 0 in einem inneren
Punkt c des Intervalls [xlxJ]. Dann können wir ein Teilintervall
[t e21] von [xE x2] angeben, für welches gleichzeitig die beiden folgenden
Bedingungen erfüllt sind:
1. R(x) < 0 im ganzen Intervall [lA2].
2. Es gibt ein partikuläres Integral w der Differentialgleichung (5),
welches in [sti] von der Klasse C' ist.
Denn da R(x) stetig ist in [x1x2] und R(c) < 0, so3) können wir
ein ganz in [x1x,] enthaltenes Intervall [c- 6, c + d] angeben, in
welchem R(x) < 0. Lösen wir jetzt die Differentialgleichung (5)
nach w' auf:
dw - p + (,)2 ()
dx -B
und verstehen wir unter w0 irgend einen Wert von w, so ist die
rechte Seite von (7) eine Funktion von x und w, welche in der
Umgebung der Stelle x = c, w == Wt stetig ist und eine stetige Ableitung nach w besitzt. Daraus folgt aber nach dem Cauchy'schen
Existenztheorem4), daß es ein Integral von (5) gibt, welches für
x =c den Wert w= wo annimmt, und welches in einem gewissen
Intervall [c - ', c + 6'] von der Klasse C' ist. Bezeichnet dann
[tl ] das kleinere der beiden Intervalle [c -, c + d] und [c- d',
c + d'], so sind in der Tat in [ele] die beiden angegebenen Bedingungen erfüllt. Nunmehr wählen wir j = 0 außerhalb [ }2] und5)
= (x - t)2 (x - e2)2 in [t i]. Die so definierte Funktion j liefert
1) Für ein Maximum lautet die Bedingung natürlich R < 0.
2) Nach WEIERSTRASS, Vorlesungen, 1879.
3) Nach A III 2.
4) Vgl. ~ 23, a).
5) Würde man r (x - &) (x - wählen, so hätte <' Unstetigkeiten in
g, und 82, und eine Nebenbetrachtung wie in ~ 14, c) wäre nötig.