Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

694 Übungsaufgaben zu Kapitel XI bis XIII.
sein muß, wenn i den Neigungswinkel zwischen der Tangentialebene der freien
Oberfläche und der vertikalen Richtung bedeutet. (GAUss.)
16*. Gleichgewichtsfigur eines an einer horizontalen Ebene hängenden
Tropfens 1) (~ 79, d), ~ 80, c)).
Lösung: Es muß wieder der Ausdruck (74) ein Minimum werden mit der
Nebenbedingung V= konst.. Dabei ist hier
T= —ffdx dy
und. = =a.
Die Gleichung (75) gilt auch hier. Die Grenzgleichung geht in die Bedingung über, daß die freie Oberfläche des Tropfens die horizontale Ebene berühren muß.
17. Die ~,Kantenbedingung" für diskontinuierliche Lösungen (Flächen der
Klasse D") für das Integral (19) aufzustellen (~ 80, b)).
Lösung: Ist d die Kurve in der u, v-Ebene, an welcher die partiellen Ableitungen von x, y, z Sprünge erleiden, so müssen beim Überschreiten von ( die
Ausdrücke
Fv'-Fz, F uV -FYVU, F V'- u'
stetig bleiben, wobei die Ableitungen u', v' entlang der Kurve d genommen sind.
(KOBB)
18. Zu beweisen, daß die partielle Differentialgleichung (57) befriedigt
wird durch die Funktion
u=[G ) + (s)- G(s)], (76)
wenn G(s) eine beliebige analytische Funktion von s = + ir7 ist, und s= -— it.
(SCHWARz).
19*. Die Schraubenfläche
x+ytgz = 0 (77)
ist eine Minimalfläche. Bei fester Begrenzung die zweite Variation desjenigen
Teiles derselben zu untersuchen, welcher zwischen den beiden Ebenen
z -c i und z =+- a
und zugleich innerhalb der Zylinderfläche x2 + y2 -2 liegt (~ 81).
Lösung: Es sei
ß log (R + i R/ +B2')
und es bezeichne
U(Q, l) =;lChXChe - SheQShe.
1) Vgl. Encyklopädie V 9 (MINKOWSKI), p. 572 und E. SWIFT, Über die Form
und Stabilität gewisser Flissigkeitstropfen, Dissertation, Göttingen 1907, wo eine
Anzahl spezieller Fälle im einzelnen durchgeführt werden.