Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

692 Übungsaufgaben zu Kapitel XI bis XIII.
10. Das Doppelintegral
jffG(x, y, z) /1 + + q2\+ H(xyz)]dx dy
zu einem Extremum zu machen (~ 79, a)).
Lösung: Die Extremalflächen sind charakterisiert durch die Gleichung
- + — G [XGx+ YGy+ZGz+HZ],
wo X, Y, Z die Richtungskosinus der positiven Normalen und e0, 2 die Hauptkrümmungsradien der Fläche sind. (JELLETT)
11. Unter allen geschlossenen Flächen, welche ein gegebenes Volumen einschließen, diejenige kleinster Oberfläche zu bestimmen (~ 79, d)).
Dabei sollen die zulässigen Flächen in räumlichen Polarkoordinaten in
der Form
r= r(0, p)
darstellbar sein.
Die Lagrange'sche Differentialgleichung aufzustellen und zu zeigen, daß
die Kugel mit dem Koordinatenanfang als Mittelpunkt derselben geniigt. 1)
12. Die Fläche niedrigsten Schwerpunktes bei gegebenem Flächeninhalt und
gegebener Begrenzung zu konstruieren (~ 79, d)).
Lösung: Die positive z-Achse werde vertikal nach unten gewählt. Dann
haben die Extremalflächen die charakteristische Eigenschaft, daß
1 1 1
wo N das Stück der Flächennormale zwischen der Fläche und der konstanten
horizontalen Ebene: z + 1 =- 0 bedeutet. (JELLETT)
13. Ein gegebenes Quantum homogener Materie ist nach oben begrenzt von
einer horizontalen Ebene, nach unten von einer Fläche von gegebenem Flächeninhalt. Die Fläche so zu bestimmen, daß der Schwerpunkt der Masse möglichst
tief liegt (~ 79, d)).
Lösung: Die positive z-Achse werde vertikal nach unten gewählt. Dann
haben die Extremalflächen die charakteristische Eigenschaft, daß
1 1 z+
1l?s '
wo 1 und It die beiden isoperimetrischen Konstanten sind.
Überdies muß die Fläche die gegebene horizontale Ebene senkrecht schneiden
(~ 80, c)). (LINDELÖF-MOIGNO)
1) Wegen des Nachweises, daß die Kugel wirklich die kleinste Oberfläche,
bei gegebenem Volumen besitzt, vgl. H. A. SCHWARZ, Göttinger Nachrichten,
1884, p. 1; MINKOWSKI, Mathematische Annalen, Bd. LVII (1903), p. 447; und
die auf p. 661, Fußnote 2) zitierte Dissertation von J. O. MÜLLER.