Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zu Kapitel XI bis XIII. 691
7. Für das Problem
ff(x y, y', y",y *.. y(n)) dx = Minimum.
a) nachzuweisen, daß stets der "Hauptfall" eintritt (~~ 66, 69, d), 74).
(v. ESCHERICH)
b) die Bedingungen (II), (III), (IV) aufzustellen (~~ 66, 74, 75, 76).
(JACOBI, ZERMELO)
8*. Die Stabilitätsgrenzen für einen an seinen beiden Enden festgeklemmten
ebenen elastischen Draht zu bestimmen.') (~ 69, 74, 75).
9*. Für das räumliche Variationsproblem in Parameterdarstellung ohne
Nebenbedingungen:
t2
J fF(x, y, z, x', y', z') dt = Minimum
tl
lauten die Hamilton'schen Formeln für die partiellen Ableitungen des Extremalenintegrals i3 (x,, Y, y,; x2, y2, z2):
ama3 ix abyi az
_a_ I % a = t,= 1F"F1 (
-?~- F, ^. - — Fytl / 1 -~-,1
Für das spezielle Integral
t2 _________
J= fG(x,y,z)V/x'2 +y' + z'2dt (72)
folgt hieraus: Sind die beiden Endpunkte P, (xl, y, zl), resp. P, (x, y2, z), auf
zwei Raumkurven S, resp. f2, beweglich, welche durch ihre respektiven Bogenlängen s, und s2 dargestellt sind, und bezeichnet col, resp. e2, den Winkel
zwischen der Extremalen P, P2 und der positiven Richtung von t, im Punkt P",
resp. der Kurve! im Punkt P2, so lautet das Differential des Extremalenintegrals von P, nach P,:
d -== G(x2, y, Z2) cos c,0 ds,- G(x,, y, Z,) cos o, ds,. (73)
(THOMSON und TAIT)
Hiernach den folgenden Satz von THOMSON und TAIT zu beweisen:
Zieht man von den Punkten einer gegebenen Fläche e aus Extremalen für
das Integral (72) senkrecht zur Fläche und schneidet auf jeder derselben von
ihrem Schnittpunkt P mit der Fläche aus, nach derselben Seite hin, einen Bogen
PQ ab, welcher für das Integral einen konstanten Wert liefert, so ist der geometrische Ort der Endpunkte Q eine Fläche, welche sämtliche Extremalen senkrecht schneidet (~ 78).
1) Siehe Aufgabe Nr. 21 auf p. 536 und die dort zitierte Dissertation von BORN.