Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

690 Übungsaufgaben zu Kapitel XI bis XIII.
5. Analoge Bemerkungen gelten für räumliche Variationsprobleme. Hiernach folgende Aufgaben als Lagrange'sche Probleme mit der Bogenlänge als
unabhängiger Variabeln zu behandeln:
Beispiel XVI (Geodätische Linien). (LINDELÖF-MOIGNO)
Aufgabe Nr. 15 auf p. 298 (Allgemeine Brachistochrone auf einer Fläche).
(LINDELÖF - MOIGNO)
Aufgabe Nr. 2 auf p. 528 (Spezielles isoperimnetrisches Problein auf einer
Fläche). (LINDELÖF -MOIGN o)
6*. Zwischen zwei gegebenen PIunkten die kürzeste Raumkurve von gegebener
konstanter erster Krümmung _ zu ziehen (~ 71). (DELAUNAY)
Lösu ng ): Wenn man die Bogenlänge s als unabhängige Variable einführt
und setzt: x' = ~, y' =-, z' = -, so hat man ein Lagrange'sches Funktionenproblem mit gemischten Bedingungen, bei welchem die obere Grenze s2 nicht
vorgeschrieben ist. Bei passender Wahl der z-Achse findet man
s R( + a) dk
d -S ---
wobei: G(~) = (- + a)2 ( - 2 ) - c2. Die Größen a und c sind konstant.:Setzt man
~+ in==Qe,", x+ iy= — reiw,
so findet man weiter
d cd
o~ --- 1 -- S~ dq~ --
und nach geeigneter Verschiebung des Koordinatenanfangspunktes in der x, yEbene
r^ T -2 +a) - c2], d (+ a)w d/ a), [(+ '- a- c2] -()
Setzt man
so kann man sämtliche Variabeln mittels der Funktionen au, gpu ausdrücken.
G(S) hat genau dieselbe Form wie in Aufgabe Nr. 13 p. 532; daher dieselbe
Realitätsdiskussion wie dort.
Ausartungen: 1) Ein Kreisbogen (c- 0), zuerst von DELAUNAY angegeben, von H. A. ScHWARZ 2) auf Hinlänglichkeit untersucht. Dies ist die einzige mögliche Lösung, wenn die Tangentenrichtungen in beiden Endpunkten
nicht vorgeschrieben sind.
2) Eine Schraubenlinie, zuerst von TODHUNTER angegeben, von VENSKE
genauer untersucht.
~) Vgl. die Dissertation von 0. VENSKE, Göttingen 1891, auch für die sonstige Literatur über das Problem.
2) Berliner Berichte, 1906, p. 365.