Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

686 Dreizehntes Kapitel. Extrema von Doppelintegralen.
eine von ( begrenzte, ganz in Q5 gelegene Fläche der Klasse C' gleich
dem Wert des Grundintegrals (2), genommen über das von (~ begrenzte Stück der fraglichen Extremalfläche.
Denn für eine Extremalfläche
z = p (x, y; a)
des Feldes ist
p = p == p q q = y
und- daher reduziert sich der Integrand von J* auf
f] =- f (x, y,, 9x wy)'
Ist jetzt
~: z - ~- (x, y)
irgend eine Fläche der Klasse C', welche von der vorgeschriebenen
Kurve 2 begrenzt wird und ganz im Feld ok liegt, so ist nach-den
beiden eben bewiesenen Sätzen
J g Jo j;
J o=
also
äJ= JJ J-4J%= - J;- (66)
Definiert man jetzt die 8-Funktion als Funktion von sieben unabhängigen Variabeln durch die Gleichung
8 (x, y, z; p, q;, ) = f(, Z, z,,) - f(x, p, q)
- (p - P) fp(x, y,, p, q) - ( - q) f(x, y,,, q), (67)
und bezeichnet
= — Z q —y, p p (x, y, ), q-q(x, y, ),
so ergibt sich aus (66), indem man die Integrale rechterhand ausschreibt, unmittelbar der Weierstraß'sche Fundamentalsatz fiir Doppelintegrale
A J=ff (x, y, z; p, q; p, q) dx dy. (68)
Hieraus folgtl), dem Satz von ~ 19, a) entsprechend, der Satz:
Wenn die Extremalfläche 50 sich in ein Feld k einbetten läßt,
und wenn überdies
& (x, y, z; p (x, y, ), q (x, y, z); p, q) > o (IV b)
für jeden Punkt (x, y, z) dieses Feldes und für jedes endliche, von
(p, q) verschiedene Wertsystem (p, q), so liefert 53= ein stcarkes, eigentliches Minimum für das Doppelintegral J.
1) Bei Beschränkung auf Vergleichsflächen der Klasse C'.