Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 82. Hinreichende Bedingungen für Extrema von Doppelintegralen. 68a
Ebene z = 0 und wähle die Koordinaten, r1 der Projektion des Punktes Q als
Parameter für die Darstellung der Minimalfläche. ) Ferner variiere man das
Minimalflächenstück bei fest bleibender Begrenzung in der Weise, daß man jeden
Punkt auf der durch ihn gehenden Flächennormale um ein Stück s w verschiebt,
wobei w eine willkürliche Funktion von t und ir ist, welche entlang dem Rande
verschwindet. Dann erhält man für die zweite Variation des Flächeninhaltes
den folgenden Ausdruck
o r 2 r/^ i \", /a\2 8^2 ai 7i7
2J 2 Lf[(iw) + ( (w 1 )-+2 + (2)2Jd a d (56),
Die zweite Variation ist also nur von der Gestalt des sphärischen Bildes,
nicht aber von der sonstigen Beschaffenheit des Minimalflächenstückes abhängig.
Auf das Integral (56) lassen sich die unter b) und c) entwickelten Schlüsse
anwenden, wobei die akzessorische Differentialgleichung die Form annimmt
a2U i2t6 8 u
-a + a2 + ( + + (57)
Wegen der aus diesen Resultaten zu ziehenden geometrischen Folgerungen
verweisen wir auf die oben zitierte Abhandlung von SCHWAnz. 2)
~ 82. Hinreichende Bedingungen für Extrema von Doppelintegralen.3)
Der Hilbert'sche Unabhängigkeitssatz lässt sich ohne Schwierigkeit auf Doppelintegrale übertragen; aus ihm folgt dann die Verall1) Zwischen der durch (29) definierten komplexen Größe s und den Parametern a, N besteht nach WEIERSTRASS die Beziehung: s == + ir.
2) Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 18, 19 am Ende von Kap. XIII.
3) Hinreichende Bedingungen für Extrema von Doppelintegralen hat zuerst.
SCHWARZ für den speziellen Fall von Minimalflächen in Parameterdarstellung entwickelt in der Arbeit, Über ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes
Problem der Variationsrechnung" (1885), Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Bd. I, p. 222. Mit der Aufstellung von hinreichenden Bedingungen für den allgemeinen Fall in Parameterdarstellung beschäftigen sich KOBB.
(in der auf p. 663 Fußnote 4) zitierten Arbeit (1892)) und KNESER, Lehrbuch
~ 69 (1900).
Den Unabhängigkeitssatz für Doppelintegrale hat zuerst HILBERT gegeben.
Göttinger Nachrichten 1900, p. 295; vgl. auch die Darstellung von OSGOOD
(Annals of Mathematics (2), Bd. II (1901), p. 125), der wir im Text gefolgt sind.
Endlich hat HILBERT in der Arbeit "Zur Variationsrechnung" (Göttinger
Nachrichten 1905, pp. 171 und 174) den Unabhängigkeitssatz auf den Fall
eines Doppelintegrals, welches von zwei unbekannten Funktionen von x und y
abhängt, ausgedehnt, sowie auf den Fall, wo die Summe eines Doppelintegrals
von der Form (2) und eines einfachen, über einen Teil des Randes erstreckten
Integrals zu einem Extremum gemacht werden soll, während z auf dem übrigen
Teil des Randes vorgeschriebene Werte hat. Mit der ersteren dieser beiden
Aufgaben beschäftigt sich auch HADAMARD im Bulletin de la Societe Mathematique de France, Bd. XXXIII (1905), p. 73.