Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

680 Dreizehntes Kapitel. Extrema von Doppelintegralen.
Bedingungen für ein permanentes Zeichen der zweiten Variation an
die Seite stellen.
Dazu stellen wir uns nach CLEBSCH1) die Aufgabe, drei Funktionen u, v, w von x und y so zu bestimmen, daß identisch in ~, Sy
die Gleichung gilt
f /^ax aa a Vl
~~2Q=Uß^ZGI2{fpp($hH (2fpq (Ow2) (52)
Führt man hierin die angedeuteten Differentiationen aus und setzt
dann beiderseits die Koeffizienten entsprechender Produkte der Größen,;, ty einander gleich, so erhält man die drei Gleichungen
f.= Z (f2p3 U + 29uu+ 2f99u + f) + v + wy.
f= - +(f x;+f ) + v, (53)
f~=-I(f~p +f 2uy)~w.
Berechnet man aus den beiden letzten Gleichungen die Werte
von v, und wy und setzt dieselben in die erste ein, so erhält man
für die Funktion u die partielle Differentialgleichung
(u)= 0, (46)
wo qF wieder durch (45) definiert ist. Die Werte von v und w ergeben sich alsdann aus (53.) und (53,).
Integriert man jetzt die Gleichung (52) über den Bereich (Ca
und wendet auf die beiden letzten Glieder den Green'schen Satz an,
so erhält man für 82J den Ausdruck
J X= ffX2 + 2fX Y + fXY Y+ ) dxdy +f(vdy - wdx), (54)
1) Journal für Mathematik, Bd. LV (1858), p. 271, wo dieselbe Transformation für r-fache Integrale durchgeführt wird. Eine nicht wesentlich von:
(54) verschiedene Formel gibt übrigens schon MAINARDI, Annali di scienze
matematiche e fisiche (Tortolini), Bd. III (1852), p. 163. In einer späteren
Arbeit hat CLEBSCH seine Untersuchungen über die zweite Variation auf r-fache
Integrale ausgedehnt, welche n unbekannte Funktionen enthalten (Journal für
Mathematik, Bd. LVI (1859), p. 122). Schon im Fall r= 2, n= 2 treten hier
eigentümliche Schwierigkeiten auf, auf welche neuerdings HADAMARD aufmerksam
gemacht hat (Bulletin de la Societe6 Mathematique de France, Bd. XXX
(1902), p. 253, und Bd. XXXIII (1905), p. 73.