Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 81. Die zweite Variation bei Doppelintegralen. 673
a) Das Analogon der Legendre'schen Bedingung:
Dasselbe lautet folgendermaßen1):
Die zweite notwendige Bedingung für ein Minimum des Doppelintegrals (2) besteht darin, daß
fp >-0, fppfq- fp qO (II)
im ganzen Bereich E.
Dies läßt sich auch so ausdrücken: Es muß
fppX' + 2f~qXY + fqq Y2 O0 (41)
sein für jeden Punkt (x, y) des Bereiches (C und für jedes reelle
Wertsystem X, Y.
Zum Beweis2) nehmen wir an, die Bedingung sei nicht erfüllt,
es gäbe also einen Punkt Po(xo, o) des Bereiches (9, - und zwar
möge es zunächst ein innerer Punkt sein -, und ein reelles Wertsystem Xo, Yo, so daß in leicht verständlicher Bezeichnung
(fpp)oX2 + 2(fpq)o X Y + (fqq)0 Y2 < 0. (42)
Dann lassen sich zwei modz verschiedene Winkel ac, a2 angeben, so
daß auch
(fpp)o cosa s + 2(f))0 cos c Sin i + sin2 ai < 0,
i =, 2.
Aus der Stetigkeit der Funktionen fp, fpq, fq folgt dann weiter,
daß sich eine Umgebung (9) des Punktes P, und eine positive Größe
k2 angeben lassen, so daß
fpp cos2 i + 2f.q cos ai sin ai + fq sin2 a < - k2 (43)
i = 1, 2,
für jeden Punkt (x, y) von (Q).
Nach diesen Vorbereitungen konstruieren wir in der x,y-Ebene
das Parallelogramm, dessen Seiten durch die Gleichungen gegeben sind
(a): d - u= 0, (c): d + t = 0,
(b): d- = 0, (d): d + = 0,
1) Für ein Icaximum lautet die Bedingung
fpp< o f ppqq -fi2>0,
sodaß also im Fall ffq -f~ < 0 weder Maximum noch Minimum eintritt.
2) Im wesentlichen nach MAsoN (Bulletin of the American Mathematical Society, Bd. XIII (1907), p. 293).