Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

670 Dreizehntes Kapitel. Extrema von Doppelintegralen.
Wir wenden diese allgemeinen Überlegungen zunächst auf den
Fall an, wo die Begrenzungen der zulässigen Flächen der Bedingung
unterworfen sind, auf einer gegebenen Fläche
q (x, y, z) = (34)
zu liegen. Hier muß also für jedes s die Gleichung
(X, Y,Z) =
erfüllt sein, aus welcher sich durch den Variationsprozeß ergibt
Bö +,.s == ~- (35)
wobei die Argumente von 9p, cp,, Sp sich auf die Begrenzung 2 der
Fläche 9o beziehen.
Man verfährt nun ganz wie beim Beweis der Multiplikatorenregel
für den Fall endlicher Bedingungsgleichungen (~ 68): Man multipliziert
die Gleichung (35) mit einer unbestimmten Funktion v(t), integriert
von t1 bis t2 und addiert das Resultat zu (33); so erhält man
j \[Fxiv -Fx V' + v=px dt = 0.
tl
Nun schließt man weiter'): Von den drei Funktionen |, i, g kann
man zwei willkürlich wählen, die dritte ist dann durch die Gleichung
(35) bestimmt. Daraus folgert man wie in ~ 68, daß es eine Funktion v(t) geben muß derart, daß die Faktoren von t, X, g unter dem
Integralzeichen einzeln verschwinden. Daraus folgt durch Elimination
von üi, v, v das Resultat:
Ist die Begrenzung der gesuchten Fläche nicht vorgeschrieben, sondern nur der Bedingung unterworfen, auf einer gegebenen Fläche
qp (x, y, z) 0 zu liegen, so muß entlang der Begrenzung die Gleichung
erfüllt sein.IiF Fx Du
Fy Fy,0 y ä= 0. (36)
F, U F3, T
1) Der Beweis leidet an denselben Mängeln wie die älteren Beweise der
Multiplikatorenregel (vgl. die Kritik derselben auf p. 568). Es müßte gezeigt
werden: Sind a, ri, t irgend welche Funktionen von t, welche der Gleichung (35)
genügen, so kann man stets eine Schar von zulässigen Variationen (31) konstruieren,
für welche Xe (ü, v, 0) = ö, etc.