Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 80. Doppelintegrale in Parameterdarstellung. 669
des Integrationsbereiches vermeiden kann, welche andernfalls im allgemeinen nötig ist und große Komplikationen herbeiführt.
Man schließt zunächst in bekannter Weise, daß die das Extremum
liefernde Fläche
95o: x=x (u, v), y=y (, v), z = (u, v), (u, v) in L
auch in diesem Fall eine Extremalfläche sein muß.
Um die Grenzgleichungen zu erhalten, hat man dann allgemeinere
Variationen der Fläche 50 von der Form
x=X(u,; E), y= Y(u, v; 6), z= Z(u, v; E), (u, v) in ( (31)
zu betrachten. Die Funktionen X, Y, Z müssen sich für e = 0 auf
x (u,v), y (u, v), z (u, v) reduzieren und die üblichen Stetigkeitseigenschaften besitzen, und überdies muß die Begrenzung 28 der Fläche (31)
bei beliebigem E den vorgeschriebenen Grenzbedingungen genügen.
Schreiben wir die Begrenzung S des Bereiches (L in der Form
': u =" (t), v = v(t), ti <t t,
so ist die Begrenzung 2S dargestellt durch die Gleichungen,: x = X(, v=; X E), y =Y(t v; E) == Z(u2,' ~ V )
wofür wir einfach X, Y, Z schreiben werden.
Für die Schar (31) muß nun die erste Variation des Integrals
J verschwinden. Wir können dieselbe auf die Form (22) bringen,
wobei nunmehr
a X, (u, V; 0), = Y,(u0, V; O) = Z,(U, ( 0) (32)
Da die Fläche 30 den Differentialgleichungen (23) genügt, so reduziert
sich daher die Gleichung J= 0 auf
jf^ (F/ - FV) dt-O 0, (33)
wobei t, i, a aus den Ausdrücken (32) für t, N, g durch die Substitution von t, v für u, v hervorgehen; die Argumente der Ableitungen
von F sind: x (ü, ), *, xa (U, v),, xV (V, ),...
Die Funktionen t, X, g sind gewissen aus den gegebenen Grenzbedingungen folgenden Beschränkungen unterworfen; aus diesen zusammen mit der Gleichung (33) hat man dann die Grenzgleichungen
abzuleiten.
Bo1 z a, Variationsrechnung. 43