Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 80. Doppelintegrale in Parameterdarstellung. 663
Auch hier läßt sich die Fläche experimentell darstellen durch eine Flüssigkeitslamelle, welche zwischen dem Rand eines zylindrischen Gefäßes ausgespannt
ist und in letzterem ein bestimmtes Volumen Luft abschließt.') Auch die Oberfläche eines Öltropfens, der in einer gleich schweren Mischung von Wasser und
Alkohol frei schwebt oder sich an eingetauchte feste Körper anlehnt, nimmt im
Gleichgewichtszustand die Figur einer Fläche konstanter mittlerer Krümmung an. 2)
~ 80. Die erste Variation von Doppelintegralen in Parameterdarstellung.
Aus denselben Gründen, wie bei einfachen Integralen3), ist eine
erschöpfende Behandlung von geometrischen Variationsproblemen auch
bei Doppelintegralen nur unter Benutzung der Parameterdarstellung4)
möglich.
a) Allgemeines über Flächen in Parameterdarstellung:
Es sei eine Fläche in Parameterdarstellung gegeben durch die
Gleichungen
X =x (UV) y=y(u,V =, Z (Zt,v). (16)
Die unabhängigen Variabeln u, v (die "Parameter") deuten wir als
rechtwinklige Koordinaten eines Punktes in einer u, v-Ebene. Die
Funktionen x(u,v), y(u,v), z(u,v) seien von der Klasse C' (resp. C(n),
D")) in einem Bereich CL der u,v-Ebene, welcher von einer endlichen
Anzahl gewöhnlicher, geschlossener Kurven ohne mehrfache Punkte
begrenzt wird, deren Gesamtheit wir mit S bezeichnen; die Kurve S
soll die Eigenschaft haben, von jeder zur u-Achse oder zur v-Achse
parallelen Geraden höchstens eine bestimmte endliche Anzahl von
Malen geschnitten zu werden, es sei denn, daß sie eine ganze Strecke
mit ihr gemein hat. Überdies sollen die drei Funktionaldeterminanten
A = yzA - zyn, B - zx - xz C - xyv - y, x
in keinem Punkt von cL gleichzeitig verschwinden.
Die Gleichungen (16) ordnen jedem Punkt (u, v) des Bereiches (L
einen Punkt (x,y,z) der Fläche zu, dem ganzen Bereich LC ein Stück
1) Vgl. Eecyklopädie V 9 (MINKOWSKI), Nr. 10.
2) Ibid. Nr. 9. Hierzu weiter die Übungsaufgaben Nr. 11-16 am Ende von
Kap, XIII.
3) Vgl. ~ 25, e).
4) Dieselbe ist zuerst von PorssoN auf Variationsprobleme angewandt worden,
allerdings nur als Mittel zur Ableitung der Grenzgleichungen bei Problemen mit
variabler Begrenzung, Memoires de l'Academie de France, Bd. XII (1833),
p. 286. Systematisch auf die allgemeine Theorie der Extrema von Doppelintegralen angewandt wurde dieselbe zuerst von KOBB, Acta Mathematica, Bd. XVI
(1892), p. 65; vgl. auch KNESER, Lehrbuch, Abschnitt VIII.