Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 79. Die erste Variation von Doppelintegralen. 661
wobei wir auf der Kurve A den Bogen s als Parameter eingeführt
haben. Hieraus schließt man leicht, daß wegen der Willkürlichkeit
von g der Faktor von t entlang der Kurve R verschwinden muß, daß
also die "Grenzgleichung"
dy dxl
Sr d -- q d- =~ 0.
ds ds
Nun sind aber
-PS -q 1
die Richtungskosinus der (positiven) Normalen der Extremalfläche, dagegen
dy dx
d s ' d sb'
dsS ds'
diejenigen der Normalen des gegebenen Zylinders; die Grenzgleichung druckt
also aus, daß in jedem Punkt der Begrenzung S die Extremalfläche den Zylinder
senkrecht schneiden muß.1)
d) Die Euler'sche Regel für Doppelintegrale:2)
Auch die Euler'sche Regel für isoperimetrische Probleme läßt
sich leicht auf Doppelintegrale übertragen. Sind die zulässigen Flächen
außer den unter a) angegebenen Bedingungen noch der isoperimetrischen
Bedingung unterworfen, daß sie einem zweiten Doppelintegral derselben Form
K ==Jjg(x, y,z,p, ) dx dy
einen vorgeschriebenen Wert 1 erteilen sollen, so betrachte man wie
in ~ 59,a) Variationen von der Form
= (x, y) + E g( y) + 1 S1 (x,y ) Z(x, y; E, ),
wobei t(x,y), g (x,y) beliebige Funktionen der Klasse D' sind, welche
1) Hierzu weiter die Ubungsaufgaben Nr. 15, 16 am Ende von Kap. XIII.
2) Für die weitere Theorie der isoperimetrischen Probleme bei Doppelintegralen verweisen wir auf KOBB, Acta Mathematica, Bd. XVII (1893), p. 321
und J. O. MÜLLER, Über die Minimaleigenschaft der Kugel", Dissertation,
Göttingen 1903.