Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 79. Die erste Variation von Doppelintegralen. 659
b) Ausartung der Lagrange'schen Differentialgleichung in eine
Identität:')
Für spätere Anwendung betrachten wir noch den Fall, wo die
Lagrange'sche Differentialgleichung (I) in eine Identität degeneriert,
und zwar soll dies in dem Sinn stattfinden, daß die Differentialgleichung in ihrer ausgeschriebenen Form (7)
fpr + 2f.s + fqt + fp++ + 2 fq + f + f~ - f, = 0
für jeden Punkt (x,y, z) in einem gewissen, im Innern von 3R gelegenen Bereich SCo und für alle endlichen Wertsysteme p, q, r, s, t
erfüllt sein soll.
Man zeigt leicht, daß hierfür notwendig und hinreichend ist, daß
die Funktion f von der Form
f L(x, y, z) + M(x, y, z)p + N(x, y, z)q
ist, und die Funktionen L, M, N in 9Rt identisch der Relation
L- M, + N,
genügen.
Es sei jetzt eine diesen Bedingungen genügende Funktion f gegeben; die Funktionen L, M, N seien im Bereich 90 von der Klasse C'
und überdies möge der Bereich Jto in Beziehung auf die z-Richtung
konvex2) sein und die vorgegebene geschlossene Kurve 2 enthalten.
Dann ist der Wert des Doppelintegrals (2), genommen über irgend
eine in der Form (1) darstellbare Fläche von der Klasse C', welche
von der Kurve 2 begrenzt wird und ganz in ot, liegt, nur von der
Begrenzungskurve 2, nicht aber von der sonstigen Gestalt der Fläche
abhängig.
Denn sind
z = z(x,y) und z- = (x,y),
(x,y) in (C,
zwei diesen Bedingungen genügende Flächen, so genügt auch jede
Fläche der Schar
z == z (x, y) + - (2(x, y) - z (X, y))- Z(x, y; a),
(x, y) in QL; 0 a1,
1) Vgl. die analogen Betrachtungen in ~ 6, b) und JELLETT, Treatise on the
Calculus of Variations, p. 340; ferner wegen verschiedener Verallgemeinerungen
KÖNIGSBERGER, Mathematische Annalen, Bd. LXII (1906), p. 118.
2) D. h. sind P1 und P2 irgend zwei Punkte von o mit denselben x, y-Koordinaten, so liegt stets die ganze Strecke P1 P2 in o.