Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 79. Die erste Variation von Doppelintegralen. 655
Wegen (3) ist das Linienintegral gleich Null, und es muß also das
Doppelintegral für alle zulässigen Funktionen g verschwinden.
Dem Fundamentallemma von ~ 5, b) entspricht nun hier der Satz:
Ist die Funktion M(x, y) stetig im Bereich CL, und ist
JCMdx d dy = (6)
für alle Funktionen g, welche in (L von der Klasse C' sind und entlang der Begrenzung y von CL verschwinden, so ist
M(x,y)- O in EL.
Denn angenommen, es sei M(x0, yo) + 0, etwa > 0, für einen
inneren Punkt Po (xo, Yo) von (E, so können wir die positive Größe 9
so klein wählen, daß M(x, y) > 0 in der Kreisfläche ( mit dem
Radius 9 und dem Mittelpunkt Po, und daß gleichzeitig dieser Kreis
ganz im Innern von (c liegt. Dann hat die durch die Festsetzung
=f [- (x - )- ( - yo)2]2 in
0 außerhalb e
definierte Funktion g die verlangten Eigenschaften und macht trotzdem das Integral (6) positiv. Daraus folgt, daß M(x, y) - 0 sein
muß, zunächst im Innern von (E, und wegen der Stetigkeit von M
alsdann auch auf der Begrenzung k.
Wendet man dieses Lemma auf die Gleichung dJ = 0 in der
zuletzt erhaltenen Form an, so erhält man den Satzl):
Die erste notwendige Bedingung für ein Extremum des Doppelintegrals J besteht darin, daß die Funktion z der partiellen Differentialgleichung
f, - x - oy f q 0 (i)
genigen muß.
Dabei sind die Differentiationen nach x und y so zu verstehen,
daß vor der Differentiation in fp und fq für z, p, q die Funktionen
1) Zuerst von LAGRANGE (1760) für den Fall der Minimalflächen gegeben, vgl.
Oeuvres, Bd. I, p. 356.
Mit dem,inversen Problem" (vgl. ~ 6, c)), die Funktion f so zu bestimmen,
daß die Differentialgleichung (I) mit einer vorgegebenen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung identisch wird, beschäftigen sich HinscH, Mathematische Annalen, Bd. XLIX (1897), p. 49; HERTZ in seiner Dissertation ~,Ueber
partielle Differentialgleichungen, die in der Variationsrechnung vorkommen" (Kiel,
1903); KüRscHAR, Mathematische Annalen Bd. LX (1904), p. 157 und Bd.
LXII (1906), p. 148; und KÖNIGSBERGER, Berliner Berichte, 1905, p. 205.
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