Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 79. Die erste Variation von Doppelintegralen. 653
darstellbaren Flächen1), welche von der Kurve 2 begrenzt werden, diejenige zu bestimmen, für welche das Doppelintegral
J=f f(x,y, z,p, q) dxdy (2)
den kleinsten Wert annimmt.
Dabei ist in dem Integranden des Doppelintegrals
z= z (xy), p (x, y), q = (x, y)
zu setzen und das Integral ist über die Projektion XC der Fläche (1)
auf die x, y-Ebene zu erstrecken.
Über die Funktion f(x,y,z,p,q) wird vorausgesetzt, daß sie von
der Klasse C" ist, wenn der Punkt (x, y, z) in einem gewissen Bereich
S{ des Raumes liegt und p und q beliebige endliche Werte haben.
Die geschlossene Kurve 2 soll ganz im Inneren dieses Bereiches
g3 liegen und, ebenso wie ihre Projektion R auf die x,y-Ebene, eine
gewöhnliche2) Kurve ohne mehrfache Punkte sein. Überdies soll es
eine ganze Zahl n geben derart, daß jede Gerade der x, y-Ebene, welche
zur x-Achse oder zur y-Achse parallel ist, die Kurve S höchstens in
n Punkten trifft, es sei denn, daß sie eine ganze Strecke mit ihr gemein
hat. Das Innere3) der Kurve k zusammen mit der Kurve & selbst
ist dann der oben mit (3 bezeichnete Integrationsbereich.
Von den "zulässigen Flächen" wird, abgesehen davon, daß sie von
der Kurve 2 begrenzt sein sollen, vorausgesetzt, daß sie ganz im
Inneren des Bereiches 9t liegen und von der Klasse4) )' sein sollen.
Unter diesen Voraussetzungen hat das Integral (2) für jede zulässige
Fläche einen bestimmten endlichen Wert.5)
Wir nehmen an, wir hätten eine zulässige Fläche jo von der
Klasse C" gefunden, - dieselbe sei durch die Gleichung (1) dargestellt -, welche dem Integral J einen nicht größeren Wert erteilt
als jede andere zulässige Fläche 7 in einer gewissen Umgebung von
f5o. Ist dann t(x, y) irgend eine Funktion, welche in CL von der Klasse
D' ist und entlang der Begrenzung 9 verschwindet:
_; 1i o 0, (3)
1) Das Wort ~Fläche" wird hier überall im Sinn von ~Flächenstück" gebraucht.
2) Vgl. die Definition in ~ 25, a), die sich unmittelbar auf Raumkurven
übertragen läßt.
3) Vgl. A VI 2.
4) D. h. die Funktion z(x, y) soll stetig sein im Bereich (, und dieser Bereich soll sich in eine endliche Anzahl von Teilbereichen zerlegen lassen, in
deren jedem z(x, y) von der Klasse C' ist, wobei die Trennungslinien denselben
allgemeinen Charakter haben sollen wie die Kurve k.
5) Vgl. JORDAN, Cours d'Analyse, Bd. I, Nr. 66; STOLZ, Grundzüge, etc., Bd.III,p. 69.
B o l z a, Variationsrechnung. 42