Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Dreizehntes Kapitel.
Elemente der Theorie der Extrema von Doppelintegralen.
~ 79. Die erste Variation von Doppelintegralen mit x, y als
unabhängigen Variabeln.
Die Theorie der Extrema von Doppelintegralen ist noch nicht
zu einem ähnlichen Abschluß gelangt wie die analoge Theorie der
einfachen Integrale. In der Tat läßt sich zwar ein Teil der Betrachtungen, die wir bei einfachen Integralen durchgeführt haben, ohne
große Mühe auf Doppelintegrale ausdehnen, bei einem anderen Teil
dagegen wachsen die Schwierigkeiten beim Übergang zu Doppelintegralen ganz außerordentlich, was in erster Linie damit zusammenhängt,
daß hier an Stelle der gewöhnlichen Differentialgleichungen partielle
Differentialgleichungen treten. Wir werden uns daher bei der folgenden Darstellung auf die einfachste Klasse von Problemen und auf
die einfachsten darauf bezüglichen Fragestellungen beschränken.
Wir unterscheiden wieder ~Funktionenprobleme", bei denen eine
Funktion zweier unabhängiger Variabeln zu bestimmen ist, und
~Flächenprobleme", bei welchen es sich um die Bestimmung einer
Fläche in allgemeiner Parameterdarstellung handelt. Die Theorie der
ersten Variation werden wir für beide Probleme durchführen (~~ 79, 80),
uns dagegen bei der Theorie der zweiten Variation (~ 81) und der
hinreichenden Bedingungen (~ 82) auf den Fall des Funktionenproblems beschränken.
a) Die Lagrange'sche Differentialgleichung1):
Es sei einerseits eine Funktion f(x, y,,p,q) der unabhängigen
Variabeln x,y, z,p,q und andererseits eine geschlossene Raumkurve S
gegeben. Wir betrachten die Aufgabe: Unter allen, in rechtwinkligen
Koordinaten in der Form
z z(x,y) (1)
1) Vgl. dazu die Darstellung von GOURSAT, Cours d'Analyse, Bd. II (1905),
-Nr. 456, der wir im wesentlichen gefolgt sind.