Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

648 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
Die gesuchte Kurve e0 muß dann eine Extremale sein, und wenn
ihr Anfangspunkt P1 auf S den Parameterwerten b-b, *, bq -b
entspricht, so muß nach der in ~ 38 entwickelten Differentiationsmethode in der Bezeichnung von ~ 73, c) die Funktion
Tß (e, ' 11., — 2 '; Y3, *132 2 Yn3s)
der unabhängigen Variabeln bl, bqf für b1 b~,, bq = b ein
Extremum besitzen; dabei ist (x3, Yl3, -*, yY3) ein Punkt der Extremalen (o, der so nahe bei P, gewählt ist, daß A(x1,x3) + 0.1) Dies
führt nach den Gleichungen (158) von ~ 73 auf die Bedingungen:
[f(x, y (Xl) y' (xl)) - y ( xl) Fn +i (x, y (x), y1 (xl), x (x,))] (a b)
/o (113)
+ Fn+ y (x2, y(x1) y (xl), X(x)) ( )=0,
Q = 1 2, '.., q
wobei der Index 0 die Substitution von b~ für bi andeuten soll.
Dieselben lassen sich unter Einführung der Funktionen vi(x) nach
den Gleichungen (122) und (129a) von ~ 72 auch einfacher schreiben
in der Form
H(, y^),v (b) - vi(x) (x,) (O (114)
" ^ 'i \ /0
Diese q Gleichungen, welche im allgemeinen die Lage des Punktes P,
auf der Mannigfaltigkeit 9 bestimmen, bilden zusammen die "Transversalitätsbedingung" für das vorgelegte Variationsproblem; wenn dieselbe erfüllt ist, werden wir sagen, die Mannigfaltigkeit k schneide
die Extremale ~o im Punkt P, transversal.Die Gleichungen (112) sagen also aus, daß die durch Gleichung
(106) definierte Transversalhyperfläche S in jedem ihrer Punkte die
durch denselben hindurchgehende Extremale der Mayer'schen Schar
transversal schneidet, womit die Bezeichnung Transversalhyperfläche
ihre Rechtfertigung findet.
d) Zwei Aufgaben über Transversalhyperflächen:
Hieran schließen sich naturgemäß zwei Aufgaben, deren Lösung
eine wichtige Ergänzung zu den unter a) und b) gegebenen Entwicklungen liefern wird; zunächst die Aufgabe:
Zu einer beliebig gegebenen Hlyperfläche 9 eine n-fach unendliche
Extremalenschar zu bestimmen, welche von T transversal geschnitten wird.
1) Vgl. ~ 73, b), insbesondere p. 597, Fußnote 2) und ~ 76, g).