Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

52 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
b) Die höheren Variationen:
Wir schließen hieran eine kurze Besprechung der höheren
Variationen. Da es sich dabei wesentlich um formale Entwicklungen
handelt, wollen wir der Einfachheit halber annehmen, daß alle auftretenden Funktionen und Ableitungen in den in Betracht kommenden
Bereichen existieren und stetig sind, daß alle vorkommenden Reihenentwicklungen konvergieren, und daß überhaupt die gewöhnlichen
Regeln der formalen Differential- und Integralrechnung anwendbar sind.
Wir betrachten - etwas allgemeiner als bisher - eine Funktion
9p (x, y, y',..., y()) von x, y und einigen Ableitungen von y. Wir
ersetzen darin y durch y(x, E) und dementsprechend y(2) durch y(~')(x, e).
Die so entstehende Funktion von x und e
P {= 9p(x, y, y`F... y )),
entwickeln wir nach Potenzen von e; es sei
9P= 9 +! 1 + 2-.2 +...
Alsdann heißt1) die Größe " (p die nte Variation von qp und wird mit
6n'p bezeichnet; also
6 =.9 * (80)
Insbesondere ist demnach
y =y() (q i, = E (,=0$
8^-)~=,~(al + f c - E, s " dx (8na'
also, dn d'= d x2\ 9 s 781)
Für die Variationen niedrigster Ordnung2) von p erhält man
nach den Regeln für die Differentiation zusammengesetzter Funktionen
8( qy', y = 8+ gy, ay' +... + p() öy\P), (82)
wofür wir auch in der üblichen Symbolik3) schreiben
1) Vgl. Fußnote 4) auf p. 47.
2) Eine independente Darstellung für d p findet sich für p = 2 bei ERDMANN,
Schlömilch's Zeitschrift, Bd. XXVI (1881) p. 76.
V) Vgl. z. B. JORDAN, Cours d'Analyse, I, Nr. 129 und 253.