Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

644 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
abhängigkeitssatz; daher müssen diese speziellen Scharen Mayer'sche
Scharen sein. Dies läßt sich leicht mit Hilfe der Resultate von ~ 73
verifizieren. Wir fanden dort für die Extremale durch die beiden
Punkte (a, b1,.., be) und (ä,,, n) in der dortigen Bezeichnung
den Ausdruck a,, )
y, = Zi(x; a, b,
und nach Gleichung (159) von ~ 73 war
k bk
Wir können die Extremale also schreiben
Yi ~?)x; a, bt,..., b,O, ~b ' b
Halten wir darin die Größen t ,..., r sowie a fest und variieren
die Parameter b,..., bn, so stellen diese Gleichungen die Extremalenschar durch den Punkt t, 7i,.., in in der kanonischen Form (101) dar
und zeigen daher, daß diese Schar in der Tat eine Mayer'sche Schar ist.
b) Verallgemeinerung des Kneser'schen Transversalensatzes1):
Wir betrachten eine beliebige, die Extremale (o enthaltende
n-parametrige Extremalenschar in der kanonischen Form (93)
y= Y,(x, b,.., b,) - J,(x; a~ b, C).
Die Funktionen Ci sollen in der Umgebung der Stelle b,..., b~ von
der Klasse C' sein und den Anfangsbedingungen (93a) genügen, und
die Schar soll ein Feld um den Bogen @0 liefern.
Und nunmehr stellen wir uns die Aufgabe2), die Ausgangshyperfläche S für das Integral W so zu bestimmen, daß die Ausdrücke für
die partiellen Ableitungen von W dieselbe einfache Form (81) annehmen wie in dem speziellen Fall einer Schar von Extremalen durch
einen festen Punkt. Dazu ist nach (99) notwendig und hinreichend,
daß die durch (98) definierten Funktionen Mk sämtlich identisch verschwinden, daß also a_ _ )1 (1
2ak k (10 5)
Die verlangte Bestimmung der Fläche 9 ist also nur möglich,
wenn die gegebene Schar eine Mayer'sche Schar ist, wie dies auch
a priori aus dem unter a) erhaltenen Resultat folgt. Diese Bedingung
sei erfüllt, und es sei aB(bl,..., bn)
k___ abk
1) Vgl. hierzu BOLZA, loc. cit. p. 483.
2) In Verallgemeinerung eines von KNESER für das einfachste Variationsproblem durchgeführten Gedankengangs, vgl. ~ 31, c).