Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

640 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
wenn
A,= (x, bl, *..n bn)
die zur Lösung (87) gehörigen Multiplikatoren bedeuten.
In dem speziellen Fall, wo die sämtlichen Extremalen der Schar
yi Y(x, b..., b.) (89)
durch einen festen Punkt gehen, ist dann der mit diesen Funktionen p", g
als Argumenten gebildete Differentialausdruck
[f(x, y, p) - PiF,+i,(x, y, p, t~)]dx -+ F k(x, yp, P)c dyk (90)
i k
nach ~ 77, a) ein vollständiges Differential. Es fragt sich jetzt: Gilt
dies auch noch für eine ganz beliebige n-parametrige Extremalenschar, wie dies beim einfachsten Variationsproblem (n = 1, mn = 0) in
der Tat der Fall war?
Zur Entscheidung dieser Fragel) ziehen wir quer durch das Feld
eine beliebige n-dimensionale Mannigfaltigkeit (~Hyperfläche" in der
Terminologie2) der mehrdimensionalen Geometrie) 4, welche jede Extremale des Feldes in einem und nur einem Punkt schneidet. Eine
solche Hyperfläche kann man darstellen in der Form
x= — (bl..., b) y=, Yi(, bl,..,b), (91)
wenn e(bl,..., b") die Abszisse des Schnittpunktes der Hyperfläche S
mit der Extremalen @0 der Schar (89) ist.
Wir betrachten dann das Integral J, genommen entlang der
Extremalen (b, von deren Schnittpunkt P4 mit der Hyperfläche k
bis zum Punkt P3, dessen Abszisse x ist, d. h. also das Integral
x
U(x, b,..b., b3) f (x, Y Y') d x.
(bl,..., bn)
Dasselbe Integral, betrachtet als Funktion der Koordinaten x, yi...,y
des Punktes P3 bezeichnen wir mit W(x, y..., y,), sodaß also
W(x, y,..., y,)= U(x, ~..., b) (92)
Die Hyperfläche A' nennen wir die,Ausgangshyperfläche" für die
Funktion W.
Wir berechnen jetzt die partiellen Ableitungen der Funktion W.
Dabei machen wir zur Vereinfachung der Rechnung von der leicht
1) Vgl. für das Folgende BOLZA, Transactions of the American Mathematical Society, Bd. VII (1906), p. 478.
2) Vgl. z. B. BIANCHI-LUKAT, Differentialgeometrie, p. 564.