Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

638 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
wir dann den Punkt Ao auf der Fortsetzung von (o über P, hinaus
hinreichend nahe bei P, so ist nach dem letzten Satz von ~ 76, g)
A(x, a~)+ 0 in [x x2],
was wir nach (21) auch schreiben können
D(x, c,..., c) + in [xx,],
wenn D dieselbe Bedeutung hat wie unter a).
Hieraus folgt aber nach dem allgemeinen Satz über die Existenz
eines Feldes (~ 22, d) Zusatz), daß die Extremalenschar (75) durch den
Punkt Ao ein den Bogen eo in seinem Innern enthaltendes Feld of liefert.
Ist dann G irgend eine zulässige Kurve, welche ganz im Innern von S
liegt, so gilt für sie der Weierstraß'sche Satz (84). Hieraus folgt aber')
Sind fiir den Extremalenbogen o die Bedingungen (I') und (II)
erfüllt, und gibt es eine Umgebung (9) von eo derart, daß
8 (x, y; p (x, y), p;,i (x, y)) > o (IVb)
fiir jedes Wertsystem x, y,..., yn; p., Pn, welches den Bedingungen
(x, y,..., yn) in (Q); (x, y,... yn; p,..., ) in %2);
(x, z^yp) = o; ((x,.. n) F)+ (p(x,y y),.*, p*n (X, y))
genüigt, so liefert der Extremalenbogen @o ein starkes, eigentliches Minimum fir das Integral J mit den Nebenbedingungen qp- = 0.
Daß es sich wirklich um ein eigentliches Minimum handelt,.
folgt ganz wie in ~ 19, a): Wäre nämlich A J - 0 für eine Vergleichskurve (, so müßten entlang dieser Kurve die n Gleichungen
bestehen _, _ _ (5
yk - Pk ( * n) (85)
Dies ist aber unmöglich, wenn ( von eo verschieden ist. Denn
differentiiert man die aus (76) folgenden Gleichungen
Yk (XI C...,Cn)= yk (86)
in welchen: ci = c (x,, *., yn), nach x, so würde aus der Annahme
(85) folgen, daß die n Gleichungen bestehen müßten
Z a Y
Die Determinante derselben, d.h. die Funktion D(x,,..., c) ist
aber in [xlx,] von Null verschieden, wenn ( ganz im Felde liegt,
1) Immer unter den beschränkenden Annahmen A) bis D) von ~~ 72 und 74.
2) Vgl. ~~ 68 und 69.