Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

634 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
so läßt sich eine positive Größe d angeben derart, daß
A (x, Xo) + 0 fiir x < x x
wofern x - d < xo < x1.
Man beweist denselben genau so, wie den analogen Satz in ~ 61, d),
Ende, wobei man nur noch zu beachten hat, daß die Funktion
A(x, ~) nach d) stets zugleich die Determinante eines konjugierten
Systems ist.
Dieser Satz, in Verbindung mit dem am Ende von f) erhaltenen
Resultat zeigt, daß die Bedingungen (II') und (III') für ein permanentes
Zeichen der zweiten Variation hinreichend sind. Daß dieselben Bedingungen auch für ein schwaches Minimum des Integrals J hinreichend sind, beweist KNESER 1) durch eine Verallgemeinerung der
Methode von ~ 15, b). -
Seitdem Weierstraß und Kneser für das einfachste Problem der
Variationsrechnung gezeigt haben, daß zum Beweis der Notwendigkeit der Legendre'schen und Jacobi'schen Bedingung, sowie zur
Aufstellung von hinreichenden Bedingungen, die Theorie der zweiten
Variation nicht nötig ist, ist dieselbe wegen ihrer geringeren Anschaulichkeit etwas in Mißkredit geraten. Dem gegenüber ist hervorzuheben, daß schon beim einfachsten Problem der Variationsrechnung
ein alle Fälle umfassender, strenger Beweis der Notwendigkeit der
Jacobi'schen Bedingung mittels des Enveloppensatzes mit weit größeren
Schwierigkeiten verbunden ist, als sie die zweite Variation darbietet
(vgl. ~ 47); daß aber beim Lagrange'schen Problem die Untersuchung der zweiten Variation solange überhaupt unentbehrlich ist,
als nicht die beiden letzten der oben gegebenen Sätze ohne Hilfe der
zweiten Variation bewiesen sind, ganz davon zu schweigen, daß hier
der Nachweis der Notwendigkeit der Jacobi'schen Bedingung für die
erwähnten Ausnahmefälle mit Hilfe des Enveloppensatzes überhaupt
noch nicht erbracht worden ist.2)
1) Mathematische Annalen, Bd. LI(1899), p. 321; dasselbe beweist
auf anderem Weg v. ESCHERICH, Mathematische Annalen, Bd. LV (1902),
p. 108.
2) An weiterer neuerer Literatur über die zweite Variation erwähnen wir
noch eine Abhandlung von v. ESCHERICH, Wiener Berichte, Bd. CX (1901),
pp. 1355-1421, in welcher derselbe seine Untersuchungen auf den Fall der
Parameterdarstellung ausdehnt, und eine solche von HAHN, Monatshefte für
M a thematik un d Physik, Bd. XIV, pp. 1-57, in welcher die Verallgemeinerung
der Escherich'schen Resultate für den Fall von gemischten Bedingungen gegeben wird.