Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

632 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
der zweiten Variation:
2J= dX, (73)
wo zur Abkürzung
-Xi(W)
gesetzt ist. Wegen (66) genügen die Funktionen ri den m Gleichungen
i-=~- (74)
Wir wollen nun annehmen, daß für unsern Extremalenbogen @o
die Clebsch'sche Bedingung von ~ 74, b) in der stärkeren Form (II')
erfüllt ist. Dann folgt, daß 62J> 0, außer wenn gleichzeitig
X() = 0, Xz() 0,..., zn() 0
im ganzen Intervall [etg2]. Das würde aber bedeuten, daß das Funktionensystem Xi eine Lösung dieser n homogenen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung wäre, und da nach (63) die Funktionen
u?,.. uq n Lösungen desselben Systems sind, welche nach der Definition eines konjugierten Systems linear unabhängig sind, so würde
folgen
Nun verschwinden aber sämtliche Funktionen % in l, während die
Determinante k(itki () ] nach Voraussetzung von Null verschieden ist;
also muß C = 0, C = 0,..., -= 0 sein.
Wir erhalten also den folgenden Satz:')
Ist für den Extremalenbogen (O die Bedingung (II') erfüllt, und
gibt es ein konjugiertes System, dessen Determinante imn Intervall [t ]21
von Null verschieden ist, so ist die zweite Variation fiir dieses Intervall
positiv für alle nicht identisch verschwindendden Funktionensysteme i der
Klasse C", welche in, und 2 verschwinden und den Differentialgleichungen (41) geniigen.
g) Sätze über die Mayer'sche Determinante A(x, d):
Hält man den letzten Satz mit dem am Ende von Absatz c) bewiesenen zusammen, so erhält man das folgende Oszillationsth7eoren": 2)
Ist die Bedingung (II) für die Extremale Ho erfüllt, und gibt
1) Vgl. A. MAYER, loc. cit. p. 256. 2) Vgl. A. MAYER, loc. cit. p. 258.