Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

630 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
Hieraus folgt zunächst die wichtige Relation
8y' x 0(z) = 0, (66)
wenn man von der Gleichung
lka= 0 (67)
Gebrauch macht, die sich aus der Betrachtung der Subdeterminanten
der Determinante B ergibt.
Weiterhin leitet man aber aus (65) die folgende, von v. ESCHERICH
herrührende Fundamentalformel ab:
TRi k i (Z) Xk (X)
i, k
= - (,;,r) ({ V (',4t 2,) V' (1.. i-, 1 i +,, t) (68)
-V '(uI,2. tn). (u1,.. ui- 1, Ui + 1.. U) }.
Darin bedeutet V' die Ableitung von V nach x, und die Formel gilt,
ebenso wie (66), unter der Voraussetzung, daß die Funktionen zi den
Differentialgleichungen (64) genügen.
Zum Beweis setze man auf der linken Seite von (68) für einen
der beiden Faktoren Z(z) den Ausdruck (65) ein und mache dann von
den folgenden beiden Determinantenrelationen Gebrauch:
2 i /^ k +A T g aiB R, (69)
h y
~Z( = v(k, ),. - V 2* ) V t(?,61, * *?i-1, ~ U, +,..n)
k (7o)
- V'(ul, u2,... *,un) V (u>, 2i-, -1,+, * *,n)
deren erste, wie (67), aus der Betrachtung der Determinante B folgt,
während sich die zweite aus den Sätzenl) über Determinanten von
Subdeterminanten, angewandt auf die Determinante k(z), und über
die Differentiation einer Determinante ergibt.
f) Die zweite Transformation der zweiten Variation:2)
Aus der Fundamentalformel (68) ergibt sich nun ohne Mühe
eine zweite Transformation der zweiten Variation, und zwar auf die
der Jacobi'schen Formel (11) von ~ 10 entsprechende reduzierte Form.
1) Vgl. z. B. BALTZER, Determinanten (1875), p. 60; es handelt sich um die
Formel 2
Cf i gs k - ~f k = gi R " afi a k
Der rechten Seite derselben entspricht bei der Anwendung das Produkt Xk (z) U.
2) Nach v. ESCHERICH, Wiener Berichte, Bd. CVII, p. 1284.