Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 76. Die zweite Variation. 629
welche lineare, homogene Funktionen der Größen z, z, r3 sind, so
kann man für das Intervall [1ti2] die Multiplikatoren w^, vj so bestimmen, daß in dem Ausdruck Wh(Z) alle Größen r, herausfallen,
sowie alle Ableitungen z& mit Ausnahme von Zl, welches den Koeffizienten 1 erhält, sodaß also w,(z) die Form annimmt
lth(ß) ih + Z" Zk -
k
Das Resultat dieser Bestimmung ist
i hA(s RU}k uik (2n ei; Z,, r) +_2 i < (Z)
i,k y
Darin bedeutet R die durch Gleichung (113) von ~ 72 definierte
Determinante, Ah ist die Subdeterminante von Rhk, (ph diejenige von
c(/SlcY in der Determinante R; endlich ist Uü die Subdeterminante
von uG in der Determinante U.
Nun läßt sich aber noch eine zweite Form für die Funktion wv(z)
mit diesen speziellen Werten der Multiplikatoren angeben. Denn aus
der Definition der konjugierten Systeme folgt, daß die n Funktionen
w,(z) identisch verschwinden, wenn für z, r irgend eines der obigen
Lösungssysteme ui, (q von (48) gesetzt wird. Wir kennen also n linear
unabhängige Lösungen des Systems von n homogenen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung: wh (z) =0, und können daher nach
der Theorie der linearen Differentialgleichungen die Koeffizienten von
w^(z) durch die partikulären Lösungen u1 ausdrücken. Bezeichnen
wir mit Zx,() die Determinante
Zl; 2 7 ^ 2...; an
X(;, 1,' *, U (63)
It n'. in n. p tn
so ist h()= Jx().64,tu(, = U X(Z). (64)
Für die weitere Diskussion machen wir die spezialisierende
Annahme, daß die Funktionen z den mn Differentialgleichungen
genügen. Dann vereinfacht sich die durch Gleichsetzen der beiden
Ausdrücke für w,^() erhaltene Formel, und man erhält
Xh(Z)= -2 ^k U,; z, r). (65)
i, k