Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

628 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
Darin bilden, wie wir gesehen haben, die n ersten Lösungen ein konjugiertes System. An Stelle der n letzten Lösungen führen wir andere
n Lösungen (hr7') ein durch die Substitution
Z - n + + h, h - Qn =I +h +g + a Q
j j
Aus den Eigenschaften der Funktion p als bilinearer Form folgt
dann, daß
4, (z rqh; jk, rk) - '(^un+h f+l +h; Un+ k n+k)
+ ~Jdc 4'(un+ Qn+h; i, Qi) + ~J7cz (W,' j; Q nf+ k Qn+ k)
ij
was sich nach (58) und (60) auf
4(2;h, rh; k, rk) = f(ut +h, n+fh; f11-n + Q +k) + ~a - (61)
reduziert. Daraus folgt aber, daß wir die Konstanten a stets so
wählen können, daß
(zh, h; zk, rk) - 0, für ih, k = 12, 2,. n,
d. h. so, daß die n Lösungen,r" z2r2;* * *nn
11r;;'' Zn
ein konjugiertes System bilden.
Die Determinante dieses konjugierten Systems ist aber für x = a
von Null verschieden, da nach Gleichung (143) von ~ 72
zh(a) -(i
womit der Satz bewiesen ist.
e) Die Escherich'sche Fundamentalformel1):
Es sei jetzt
U 1,; 2 ~2;.., (62)
irgend ein konjugiertes System, dessen Determinante U=
V(u1,2, u2.., u") in einem Teilintervall [t 1] von [x12x] von Null verschieden ist. Ferner sei (zirr) ein, abgesehen von Bedingungen der
Stetigkeit und Differentiierbarkeit, beliebiges System von n + m Funktionen von x. Setzt man dann mit unbestimmten Multiplikatoren
w, vh die n Ausdrücke an
Uh(z) = ~7u/4 (ti, Aij z, r) + ~v )3 (Z),
i___________-__ i (
1) Nach v. ESCHERICH, Wiener Berichte, Bd. CVIII, p. 1278, wo der Leser
auch die im Text übergangenen Einzelheiten der Rechnung nachlesen möge.