Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 76. Die zweite Variation. 627
verstehen wir die Determinante
V (ul, 2,2* * * n) - I, i, I -= k, 2, *. *, n.
Ein solches konjugiertes System bilden z. B. die n ersten Lösungen
des kanonischen Fundamentalsystems (51):
as)%, a.O. ä2, a m (57)
Cac C-1,2, kn. 5Ck
Denn bildet man die Gleichung (56) für irgend zwei Lösungen
dieses Systems und berechnet den Wert der Konstanten aus dem
speziellen Wert x = a, so folgt
f (-Cj 2 aCj,5 -c-, 7c) = ü, (58)
da nach Gleichung (143) von ~ 72
oa _ 0; (59)
damit ist zugleich die Existenz von konjugierten Systemen bewiesen.
Durch Vergleich') mit (21) erhält man zugleich den Satz:
Die MIayer'sche Determinante A(x, a) ist zugleich die Determinante
eines konjugierten Systems, nämlich des dem Punkt a zugeordneten
kanonischen konjugierten Systems (57).
In derselben Weise findet man unter Benutzung von Gleichung
(143a) von ~ 72 ^ O (60)
lp bV <vbj 2 b j c,) k (60)
wo jk wieder das Kronecker'sche Symbol ist.
Von besonderer Wichtigkeit ist für uns der folgende Satz von
v. ESCHERICH2):
Zu jedem Punkt x = a im Innern des Regularitätsintervalls:
xT < x < x2 der Extremalen (o läßt sich ein konjugiertes System
z1 rl;2 2;.;Znn
konstruieren, dessen Determinante
V ( 2,..., n) = I |Z |i, 2 =, 2,.. 2,,n
im Punkt x = a von Null verschieden ist.
Zum Beweis gehen wir von dem dem Punkt a zugeordneten
kanonischen Fundamentalsystem (51) aus, das wir schreiben
u,1 Q1; u2, g2;...; tZ, Qn; Un+ 1 gn++.;..; unn 2n.
1) Statt des speziellen Punktes x =x, haben wir hier einen beliebigen
Punkt x = a der Extremalen e0.
2) Wiener Berichte, Bd. CVIII, p. 1339.