Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 76. Die zweite Variation. 623
Ferner gilt nun auch hier, in Verallgemeinerung des Jacobi'schen
Theorems von ~ 12,b), der Satzl), daß sich das allgemeine Integral
des Systems (48) aus dem allgemeinen Integral der Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen (I) durch Differentiation nach den Integrationskonstanten ableiten läßt:
Ist
yi = Yi(; 71, 7Y2 *.. 72n), =- i.(x; Y7, Y2, Y7n)
das allgemeine Integral der E uler-Lagrange'schen Differentialgleichungen (I), mit beliebigen Integrationskonstanten y, so wird das ak-.
zessorische System linearer Differentialgleichungen (48) durch die 2n
Systeme von Funktionen
uv -aY v _.. - 2- o (49)
a-^ ***y n-a, l a^' —^m By i
v 1,2,.,2n,
befriedigt, in denen nach der Differentiation die y7 durch die speziellen,
die Extremale (o liefernden Werte y~ zu ersetzen sind.
Zusatz I: Diese 2n Lösungen bilden ein,Fundamentalsystem",
d. h. sie sind linear unabhängig in dem Sinne, daß es keine 2n Konstanten C, die nicht alle null sind, gibt, derart daß in irgend einem
Teilintervall von [x1x2]
2%4: —o,.c~-~ O
v v
für i =, 2,.., n;,=, 2,..., m.
Zusatz II: Jede andere Lösung (u,Q) des Systems (48) läßt sich
linear und homogen durch diese 2n Lösungen ausdrücken:
u =~Cyu:, s =-C2'. (50)
v v
Der Beweis des Hauptsatzes ergibt sich sofort, wenn man die
Funktionen y (x; 7y, Y.... n, (x;, /(x; 71 Y2,.., y7) an Stelle von yi
Z. in die Differentialgleichungen (I) einsetzt und die so erhaltenen
Identitäten nach y, differentiiert.
Insbesondere folgt, daß die aus den Lösungen
yi = )( (x; a, b, c), 23 = 2(x; C, b, c)
von ~ 72,c) abgeleiteten 2n Funktionensysteme
a... V)n ai _ a_
k k ~Ck Ck (51)
b bk b a bk I a bÄ, ab,
-___ (k = 1, 2,..., n),
1) Vgl. CLEBSCH, 10C. cit. p. 259.
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