Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 76. Die zweite Variation. 621
und fir alle Funktionensysteme r der Klasse C", welche in, und e2
verschwinden und den im Differentialgleichungen (41) genügen.
Darin bedeutet
p 2F 2F a2F
— k ~, Qy k iik - i k
wobei die Argumente in den zweiten Ableitungen von F sind: (x, y (x),
y' (x), (x).
b) Erste Transformation der zweiten Variation'):
Multipliziert man die Differentialgleichungen (41) mit unbestimmten
Funktionen von x von der Klasse C', 2~, integriert zwischen den
Grenzen,l und e2 und addiert die erhaltenen Resultate zu (43), so
kann man die zweite Variation auch in der Form schreiben
ä2J-= a2fI22QrQ,<,)dx, (44)
wobei 2Q(rl,',,') die folgende quadratische Form der Größen
1 i '/22, Vn '.1 2 '22 *2 E1 h2 * *F2 " 2 'R!m
bedeutet:
2Q(, K',) +2(PikQik y k + 2 iki) + Rk k) -
i, k(45)
+ -,kz2K (oi i+ y
Nach dem Euler'schen Satz über homogene Funktionen ist
2S =(N + ^) +2 a
Die letzte Summe ist null, da nach (41)
= 0.
Setzt man den so erhaltenen Ausdruck für Q in (44) ein, wendet
partielle Integration an und beachtet, daß die Funktionen i. an beiden
Grenzen verschwinden, so erhält man für ö2J den Ausdruck2):
(46)
6J — i.2(/ t i( dx, (46)
1) Nach A. MAYER, loc. cit., p. 243; vgl. auch C. JORDAN, Cours d'Analyse,
Bd. III, Nr. 378.
2) Verallgemeinerung der Formeln (12) von ~ 10 und (45) von ~ 61.
B o l z a, Variationsrechnung. 40