Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 75. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 617
Diese Gleichung stellt den von KNESER herrührenden verallgemeinerten
Enveloppensatz dar.
Fall II: '(a) O, die Enveloppe degeneriert in einen Purnkt.
Dann folgt aus (33): J(a) - 0, also J(~c) == J(c0), d. h.
J. (P, Po)-= J (PiPD). (38)
Die Extremalen des ausgezeichneten Büschels, welche in diesem Fall
sämtlich durch Pt und P, gehen, liefern also für das Integral J,
genommen von Pl bis Pj, sämtlich denselben Wert.
d) Notwendigkeit der Mayer'schen Bedingung:
Mit Hilfe des Enveloppensatzes läßt sich nunmehr zeigen, daß
ein Extremum jenseits des konjugierten Punktes nicht mehr bestehen
kann. Angenommen es sei
x < x2. (39)
Dann folgt aus dem Enveloppensatz zunächst, daß man A J 0
machen kann durch eine zulässige Variation des Extremalenbogens (o.
Für den Fall II ist dies unmittelbar klar. Für den Fall I ist nur
noch zu zeigen, daß auch der Bogen ~P3P von ~ den Bedingungsgleichungen p- = 0 genügt. In der Tat folgt dies aus der Gleichung
(p (x, Y(x, c), Y'(x, c)) = 0,
wenn man darin zunächst x durch (a) und dann a durch a(x) ersetzt. Daher stellt die aus dem Bogen P1P3 von Du und dem Bogen
PSP von t zusammengesetzte Kurve eine zulässige Variationl) des
Bogens PiPy von ~( dar, für welche AJ= 0. Damit ist bewiesen,
daß kein eigentliches Extremum stattfinden kann, wenn xi < x.
Es muß aber noch weiter gezeigt werden, daß unter der Voraussetzung (39) auch kein uneigentliches Extremum stattfinden kann,
d. h. daß man A J < 0 machen kann.
Wir betrachten zunächst den Fall I. Angenommen der Kurvenzug P P3 P liefere ein Minimum für das Integral J; dann muß der
Bogen P3PI der Enveloppe ~ ein Extremalenbogen sein. Aus Stetigkeitsgründen folgt, daß für denselben ebenso wie für den Bogen PiP3
die Bedingungen B), C) von ~ 72 und2) die Bedingung D) von ~ 74
erfüllt sind, wenn a hinreichend nahe bei a% gewählt wird. Nehmen
wir dann noch an, daß die Enveloppe ~ von der Klasse C" ist, was
1) Man beachte auch die Ungleichung x < xi, sowie die Bemerkung in
Fußnote 1) auf p. 615.
2) Für die Bedingung D) kann ich dies allerdings nur als Vermutung aussprechen.