Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

616 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
von ~ 73 den Ausdruck für die Ableitung J'(a) unmittelbar hinschreiben, wobei wir uns der Definition (15) der Funktionen Yi sowie
der Bedeutung des Zeichens [] zu erinnern haben. Man findet
J'(a) = f(x, Y(x ), Y(XY, c))X'
+y F+(n+, Y(X, C)2 Y(X, ), A(X, C))C ~'ö.
i, k a
Die Doppelsumme ist aber gleich Null, da ja das Extremalenbüschel das durch die Gleichungen (28) definierte ausgezeichnete
Büschel sein sollte. Es kommt also schließlich
J(a) = f(, Y(X, C), Y'(X, C)) '. (33)
Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle:
Fall I: x'(a) ~ 0, die Enveloppe $ degeneriert nicht.
Wir beschränken uns dabei auf den Fall
5X(o) + 0, (34)
indem wir den Ausnahmefall, wo die Enveloppe 3 in P'I einen singulären Punkt hat, bei Seite lassen. Dann können wir nach (25)
und (26) die Gleichung (33) schreiben
J' (a) -ff(x (c), D() c'(~)) ( (35)
Andererseits können wir wegen (34) die Gleichung x = x(a) in
der Umgebung von a = %a eindeutig nach a auflösen; es sei: = a(x).
Wir können daher die Enveloppe g in der Form schreiben:
a yi (a (x)) - (x),
woraus folgt
9- '(a)
Wir erhalten also, wenn wir die Gleichung (35) nach a integrieren und x als Integrationsvariable einführen,
Wir wählen nun a ~ co, je nachdem x'(o) t 0, sodaß in beiden
Fällen x(a) < X(a0), d. h.
x < x1.
Dann können wir die Gleichung (36) schreiben:
Je ( Pt) = Je (P, P3) + J (P3 P). (37)