Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 75. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 615
stimmen, und zwar sind dieselben wegen (30) nicht etwa sämtlich
konstant.1)
Für das so erhaltene Funktionensystem ck(a) gelten dann in der
Tat die Gleichungen (26) in der Umgebung von a = ~%. Falls x'(ao) = 0,
so ist die Berührung eine eigentliche. Ist dagegen ~'(%) = 0, so
ist auch 0'(ao)=0. Ist dabei x'(a) ~ 0, so ist P; ein singulärer
Punkt der Enveloppe. Ist dagegen x' () = 0, so ist auch
yi'(a)- 0, d. h. die Enveloppe 3 degeneriert in einen Punkt, und
zwar in den Punkt P, wie sich aus den Anfangsbedingungen für
~ = ao ergibt.
Es gilt also der folgende von KNESER herrührende Satz:
Unter der Voraussetzung (22) gibt es in der n-fach unendlichen
Extremalenschar (15) durch den Punkt P, ein und nur ein die Extrenale Po enthaltendes ausgezeichnetes Extremalenbiischel, welches eine
Enveloppe besitzt, die im Punkt PI entweder die Extremale Wo berihrt,
oder in Pi einen singulären Punkt besitzt, oder aber in den Punkt P,
degeneriert.
c) Der verallgemeinerte Enveloppensatz:2)
Wir betrachten jetzt unser Integral J, genommen entlang der
Extremalen r ( des ausgezeichneten Büschels vom Punkt P, bis zum
konjugierten Punkt P/. Dasselbe ist eine eindeutige Funktion von a,
die wir mit J(a) bezeichnen:3)
x
X1
Nach der Definition der Funktion U von ~ 73, a) ist dann
J(a) = U(X; xl, y,..., y.1,..., c J. (32)
Daher können wir mit Hilfe der allgemeinen Formeln (145) und (146)
1) Hieraus folgt, daß die Extremale (a nicht etwa für alle Werte von a
in der Umgebung von ao mit eo identisch sein kann. Denn aus der Identität
Yi(x,,..., cn) -= y(x)
würde durch Differentiation nach ac folgen, daß
Y Irc=C
2 @_f ack () -= 0'
was wegen (192) nicht möglich ist.
Diese Bemerkung ist für den unter d) folgenden Beweis von Wichtigkeit.
2) Vgl. KNESER, loc. cit.
3) Wir schreiben analog den früheren Abkürzungen
(x, ) statt (x,C1.. )