Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

612 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
der Differentiation a = x1, b, = ', b =- yn, c =- cO, *. 2, c = c
zu setzen ist, so ist
D(x, Go,.* *, ~o) =- A(x, x), (21)
wie sich unmittelbar aus den Gleichungen (143) von ~ 72 ergibt.
In dieser Form A wird uns die Determinante in der Theorie der
zweiten Variation wieder begegnen; man pflegt sie die Mayer'sche
Determinante zu nennen.
Geht man von der Normalform (15) der Extremalenschar durch
den Punkt P, zu einer andern Darstellungsform über, indem man an
Stelle der Parameter, *.., c, andere n unabhängige Parameter einführt, so wird die Funktionaldeterminante D(x, c,1 *, ce) der Schar
nach bekannten allgemeinen Sätzen über Funktionaldeterminanten nur
mit einem konstanten, nicht verschwindenden Faktor multipliziert.
Dasselbe gilt von der Determinante A x, x,), wenn man von den
"kanonischen Konstanten" b.,,, b* bn,. 2, e zu beliebigen anderen
Integrationskonstanten übergeht.
Für die weitere Diskussion werden wir die beschränkende Annahme
machen, daß im konjugierten Punkt, falls ein solcher existiert,
DX(X12, 0,, ) + 0. (22)
Dann können wir nach dem Satz über implizite Funktionen die Gleichung
D(X, C1, * *, C, ) = O
in der Umgebung der Stelle x = x, c =- c~,..,,en co eindeutig
nach x auflösen'). Die Lösung sei
x = (C, * *. 2 n)
sodaß also D,,, ) 0
D(E~, cl,.-, c)-= 0
identisch in c,.., c und
(co..., c) = x.
Es besitzt dann auch jede der Extremalen Po benachbarte Extremale
(c) der Schar (15) einen zu P, konjugierten Punkt, und die Abszisse
desselben ist j(c,, n, ).
Den geometrischen Ort dieser konjugierten Punkte, d. h. also die
n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit
X ______ = p(Ci, * ), y* i = Yi(,,..., n)
1) Dabei müssen wir allerdings voraussetzen, daß auch die zweiten Ableitungen 2 YiY/bc, cj existieren und stetig sind; das wird nach p. 178, Zusatz I
sicher der Fall sein, wenn wir die ursprünglichen Voraussetzungen von ~ 69
über die Funktionen f und (p dahin verschärfen, daß dieselben im Bereich;
von der Klasse Civ sind.