Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 75. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte. 611
Die Funktionaldeterminante der Schar bezeichnen wir mit
D(x, qc,, c) = (l,"' Y)
Es folgt dann aus (17), daß
D(xl, C1e,, C) = O,
insbesondere also auch
D)(x1,... )) = o. (18)
Wir wollen nun die Annahme machen, daß der Punkt x1 ein
isolierter Nullpunkt der Funktion D(x, c, * *, c~) ist, d. h. daß sich
eine Umgebung von x, angeben läßt, in welcher diese Funktion, abgesehen vom Punkt x, von Null verschieden ist. Es wird sich später
zeigen1), daß dies in Wirklichkeit keine weitere beschränkende Annahme, sondern eine Folge unserer bisherigen Voraussetzungen A)
bis D) ist.
Es folgt dann, daß entweder2)
D(x, c,,c) +O 0 für x1 < x < x
oder aber, daß es zwischen x; und x* einen zunächst3) auf x,
folgenden Nullpunkt x[ dieser Funktion gibt, sodaß also
D(x., o,., c O) = o,
(19)
D(x, c~,.., c,)+0 für < x < x
Im zweiten Fall heißt der dem Wert x = x< entsprechende Punkt
P der Extremalen eo wieder der zu P1 konjugierte Punkt.
Die Funktionaldeterminante D läßt sich auch als Determinante
2nter Ordnung schreiben; definiert man nämlich nach A. MAYER4) die
Funktion A((x,x1) durch die Determinante
a ', )a, % Z, ~ ~C
A (x, X,) =i (20)
_ x J x Jx a I
ab '' ab ' ac ' ' a nc,
(i = 1, 2,,, n
wobei in den partiellen Ableitungen der Funktionen )i(x; a, b, c) nach
1) Siehe ~ 76, g). Sind die Funktionen f und cp analytisch und regulär
im Bereich E, so ist diese Annahme damit gleichbedeutend, daß D(x, c~, *,c)
nicht identisch verschwinden soll.
2) Wegen der Bedeutung des Zeichens x* siehe ~ 72, b).
3) Vgl. den am Ende von ~ 61, b) erwähnten Hilfssatz iber stetige Funktionen.
4) Journal für Mathematik, Bd. LXIX (1868), p. 250.