Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 74. Analoga der Bedingungen von Weierstraß und Legendre. 609
11~ — 9 12' ' '1" Rln, L l1 ' '', LlIm
R21~ R22 9 o n o2 n) L21...7. 2 m
-...., L., 0.., =,.o.,, (14)
L11 Ll,. L, Ll, 0,.., 0
~ L o 0.....
iL?ir a L, * L0,n, ~O, 0
welche bekanntlich alle reell sind'), sich keine negativen befinden,
wobei zur Abkürzung
~F f_ a LL
^ ' z),y' ~ y ' ~
gesetzt ist. GOY Yk L
Für = 0 reduziert sich die Determinante G(Q) auf die Determinante R von ~ 72, a), die nach Voraussetzung C) entlang o von
Null verschieden ist. Somit kann unter den Wurzeln der Gleichung
(14) die Null nicht vorkommen. Das hat zur Folge, daß unter der
Voraussetzung C) die Bedingung (II), wenn überhaupt, nur in der
stärkeren Form a
i, k
für alle den Gleichungen (13) genügenden, nicht sämtlich verschwindenden Werte g, " * *, n erfüllt sein kann.
Da die Wurzeln der Gleichung (14) sämtlich reell sind, so er1) Siehe GUNDELFINGER in HESSE, Analytische Geometrie des Raumes (1876)
p. 518; WEIERSTRASS, Vorlesungen iber Variationsrechnung 1879. Den folgenden
einfachen Beweis verdanke ich Herrn LöwY:
Ist Q eine Wurzel der Gleichung (14), so gibt es n- +m reelle oder komplexe Größen x1, x2, * * x, y l, M, welche nicht alle gleich Null sind
und den n + m Gleichungen genügen
Ril x1 +.i2 x2 + * in. + i Lil yl + Li2 y2 + + LimYm QXi,
LiAxI + L, (x2 +.. * * + Ln = 0.
Dabei können wegen (1) nicht alle Größen xi gleich Null sein.
Es seien jetzt xi, y- die zu xi, yen konjugiert imaginären Größen; dann folgt,
indem wir die i te Gleichung mit -i, die (n + -)te mit y? multiplizieren und
dann addieren,
BRikXk Z&i + Li (xs Y: + x y) = )Q xixi
i, k i, f i
Da,ik, Li reell sind, und Rik = Rki, so ist die linke Seite reell; da
überdies auch ZxiXi reell und von Null verschieden ist, so folgt, daß e reell
sein muß.