Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

608 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
woraus durch Vergleich mit (10) wegen (1) folgt, daß: p'(0) =,
womit der Hilfssatz bewiesen ist.
Wegen (11), (12,) und (1) muß nun im Fall eines Minimums
die Weierstraß'sche Bedingung
8(X3, y(X3); y'(X3), p(); z(x3)) > 0
für alle hinreichend kleinen Werte von E l erfüllt sein. Bezeichnen
wir die linke Seite als Funktion von s mit E(E), so ergibt eine einfache Rechnung unter Benutzung von (12):
E(O) =, E'(O) = O, E"(O) = -y E, 1 ' )
i, kl c yV
Da nach dem Taylor'schen Satz
E(E) = [E(0) + ()],
so folgt hieraus der Satz:
Für ein Minimum des Integrals J mit den Nebenbedingungen pe- 0
ist weiter notwendig, daß in jedem Punkt des Extremalenbogens eo
2 aayw o (II)
für alle den m Gleichungen
ayi (13)
genügenden Wertsysteme der Größen 1, 2, ' ',* n
Dabei sind die Argumente der zweiten Ableitungen von F:
(x, y(x), y((x), Ax(x)), diejenigen von aqg/&pY: (x, y(x), y'(x)).
Wir werden diese Bedingung die, Clebsch'sche Bedingung nennen,
da sie zuerst von CLEBSCH2) gegeben worden ist, und zwar mit Hilfe
der zweiten Variation.
In der Theorie der quadratischen Formen wird gezeigt3), daß die
Bedingung (II) damit äquivalent ist, daß unter den Wurzeln der
Gleichung
1) Das Summationszeichen 2 bedeutet hier und in der Folge stets die
n n i,k
Doppelsumme.~ ~'.
i=1 k=l
2) Journal für Mathematik, Bd. LV (1858), p. 254. Vgl. auch unten
~ 76,f).
3) WEIERSTRASS, Vorlesungen über Variationsrechnung 1879; C. JORDAN, Cours
d'Analyse, Bd. III, Nr. 392.